Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия. Задорожный В.Н - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

30 Глава 1. Векторная алгебра
Косинусы, определяемые формулами (1.79), называются направляющими коси-
нусами вектора ~a. Легко проверить, что они связаны равенством
cos
2
α + cos
2
β + cos
2
γ =
a
2
x
+ a
2
y
+ a
2
z
a
2
x
+ a
2
y
+ a
2
z
= 1. (1.80)
Таким образом, зная координаты вектора, по формулам (1.77) и (1.79) все-
гда можно найти его модуль и направ ление. Для удобства зачастую вместо
полной записи (1.72) используется сокращенная запись в виде ~a(a
x
, a
y
, a
z
) или
~a = (a
x
, a
y
, a
z
).
Имея координатное представление вектора и учитывая, что линейные опе-
рации над векторами сводятся к соответствующим операциям над проекциями
этих векторов, можем записать
α~a + β
~
b = (αa
x
+ βb
x
)~ı + (αa
y
+ βb
y
)~ + (αa
z
+ βb
z
)
~
k (1.81)
или
α~a + β
~
b = (αa
x
+ βb
x
, αa
y
+ βb
y
, αa
z
+ βb
z
).
Формула (1.81) представляет собой координатную форму линейных операций
над векторами.
Рассмотрим теперь другие объекты пространства — точки. Выб ерем про-
извольную точку M. Согласно определению, ее положение в заданной системе
координат определяется координатами ее радиус-вектора
−−→
OM, который при-
нято обозначать еще как ~r, т.е.
−−→
OM = ~r. Если проекции радиус-вектора ~r в
декартовой системе координат Oxyz обозначить через x, y, z, то его разложение
будет иметь вид
~r = x~ı + y~ + z
~
k, (1.82)
и, следовательно, т ро йка координат x, y, z будет представлять собой координа-
ты точки M. Это обозначают как M(x, y, x) или M(~r).
2. Простейшие задачи векторной алгебры
2.1. Длина вектора и расстояние между точками
Пример 2.1. Найти координаты вектора
−−−−→
M
1
M
2
, если известны координаты то-
чек M
1
(x
1
, y
1
, z
1
) и M
2
(x
2
, y
2
, z
2
). Вычислить |
−−−−→
M
1
M
2
| и расстояние между точ-
ками M
1
и M
2
.
Решение. Обозначим через ~r
1
и ~r
2
радиус-векторы то-
Рис. 19.
чек M
1
(x
1
, y
1
, z
1
) и M
2
(x
2
, y
2
, z
2
), соот ветственно. Тогда
~r
1
= x
1
~ı + y
1
~ + z
1
~
k, ~r
2
= x
2
~ı + y
2
~ + z
2
~
k.
Из рис. 19 следует, что
−−−−→
M
1
M
2
= ~r
2
−~r
1
,
откуда с уч¨етом (1.81) запишем
−−−−→
M
1
M
2
= (x
2
− x
1
)~ı + (y
2
− y
1
)~ + (z
2
− z
1
)
~
k. (2.1)
Определив из (2.1)
|
−−−−→
M
1
M
2
| =
p
(x
2
− x
1
)
2
+ (y
2
− y
1
)
2
+ (z
2
− z
1
)
2
, (2.2)
получим формулу для вычисления расстояния между точками M
1
и M
2
.

Страницы