ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
2. Простейшие задачи векторной алгебры 31
Пример 2.2. Векторы
−→
AB и
−−→
CD заданы координатами сво их концов: A(1, −3, −4),
B(−1, 0, 2), C(2, −4, −6), D(1, 1, 1). Найти
−→
AB +
−−→
CD и
−→
AB −
−−→
CD.
Решение. Запишем векторы
−→
AB и
−−→
CD через проекции, учитывая, что вектор
записывается через координаты точек, согласно (1.81):
−→
AB = −2~ı + 3~ + 6
~
k,
−−→
CD = −~ı + 5~ + 7
~
k.
Операции, осуществляемые над векторами, производятся и с их координа-
тами, следовательно,
−→
AB +
−−→
CD = −3~ı + 8~ı + 13
~
k;
−→
AB −
−−→
CD = −~ı − 2~ı −
~
k.
2.2. Направляющие косинусы
Направляющие косинусы вектора — это косинусы углов, которые он обра-
зует с осями координат. Если вектор ~a задан своим разложением
~a = a
x
~ı + a
y
~ + a
z
~
k,
то a
x
= пр
x
~a = a cos(
d
~a, ~x), т.е.
cos α = cos(
d
~a, ~x) =
a
x
a
;
cos β = cos(
d
~a, ~y) =
a
y
a
; (2.3)
cos γ = cos(
d
~a, ~z) =
a
z
a
.
Здесь
a =
q
a
2
x
+ a
2
y
+ a
2
x
.
Для направляющих косинусов справедливо соотношение
cos
2
α + cos
2
β + cos
2
γ = 1.
Пример 2.3. Вектор ~a задан координатами своих концов A и B: A(2, 1, −4),
B(1, 3, 2). Найти длину вектора ~a и его направляющ ие косинусы.
Решение. По формуле (2.1) найд¨ем
~a =
−→
AB = (x
2
− x
1
)~ı + (y
2
− y
1
)~ + (z
2
− z
1
)
~
k = −~ı + 2~ + 6
~
k.
Поскольку a
x
= −1, a
y
= 2, a
z
= 6, то
|~a| =
q
a
2
x
+ a
2
y
+ a
2
z
=
√
41.
Найд¨ем направляющие косинусы по формулам (1.79):
cos α =
a
x
|~a|
= −
1
√
41
, cos β =
a
y
|~a|
=
2
√
41
, cos γ =
a
z
|~a|
=
6
√
41
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- …
- следующая ›
- последняя »
