ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
2. Простейшие задачи векторной алгебры 33
Из соотношения (2.4) следует, чт о, зная координаты точек M
1
и M
2
, а также
отношение λ, в котором точка M делит направленный отрезок
−−−−→
M
1
M
2
, можно,
исходя из рис. 2 0, найти координаты точки M.
Действительно, пусть точке M соответствует радиус-вектор ~r =
−−→
OM =
(x, y, z), аналогично точке M
1
радиус-вектор ~r
1
=
−−→
OM
1
= (x
1
, y
1
, z
1
) и точке
M
2
радиус-вектор ~r
2
=
−−→
OM
2
= (x
2
, y
2
, z
2
). Тогда
−−−→
M
1
M = ~r −~r
1
,
−−−→
MM
2
= ~r
2
−~r
и, следовательно,
~r −~r
1
= λ(~r
2
−~r),
откуда
(1 + λ)~r = ~r
1
+ λ~r
2
и, стало быть,
~r =
~r
1
+ λ~r
2
1 + λ
. (2.5)
Формула (2.5) дает решение задачи в векторной форме. Переход от векторной
формы к покоординатной определяет координаты точки M(x, y, z):
x =
x
1
+ λx
2
1 + λ
, y =
y
1
+ λy
2
1 + λ
, z =
z
1
+ λz
2
1 + λ
. (2.6)
♦ Из формулы (2.6) очевидным обра зом вытекает схема, изображенная на
рис. 24.
Пример 2.5. Указать особенности взаимного расположения точек M
1
, M
2
, M
3
,
соответствующих отношениям: а) λ = 1; б) λ = −1/2; в) λ = −2.
Решение. а) λ = 1. Из определения (2.5) (см. рис. 2 5) имеем
−−−→
M
1
M =
−−−→
MM
2
.
Рис. 25.
Отсюда следует, что точка M делит о трезок M
1
M
2
пополам. В координатной
форме (2.6) соответственно запишем
x =
x
1
+ x
2
2
, y =
y
1
+ y
2
2
, z =
z
1
+ z
2
2
. (2.7)
б) λ = −1/2. Из определения (2.5) (см. рис. 26) имеем
−−−→
M
1
M = −
1
2
−−−→
MM
2
.
Отсюда следует, что точка M
1
находится посередине между точками M и M
2
.
Рис. 26.
Координаты точки M определятся по ф ормулам ( 2.6):
x =
x
1
−x
2
/2
1 −1/2
= 2x
1
−x
2
, y = 2y
1
−y
2
, z = 2z
1
− z
2
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- …
- следующая ›
- последняя »
