ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3. Преобразование аффинных систем координат 35
Пример 2.7. Дан параллелограмм CBDA, в котором вершины A, B, C имеют
координаты: A(3, 4), C(2, 1), B(6, 2). Точка M
1
делит диагональ
−−→
CD в отно шении
λ
1
= −1/2, а точка M
2
делит диагональ
−→
AB в отношении λ
2
= 3. Найти векторы
−−→
AM
1
,
−−→
BM
1
,
−−→
CM
2
,
−−→
DM
2
,
−−−−→
M
1
M
2
.
Решение. Условия задачи очень близки к условиям предыдущей задачи. Опре-
делив векторы
−→
CA = ~a = ~ı + 3~,
−−→
CB =
~
b = 4~ı + ~,
по формулам, полученным в предыдущей задаче, найд¨ем искомые векторы.
Можно, однако, поступить иначе. Найд¨ем координаты четв¨ертой вершины па-
раллелограмма — точки D, которые совпадают с координатами радиус-вектора
−−→
OD:
−−→
OD =
−→
OC +
−→
CA +
−−→
CB = (2~ı + ~) + (~ı + 3~) + (4~ı + ~) = 7~ı + 5~.
Таким образом, координаты точки D(7, 5). Теперь по формулам (2.6) деления
отрезка в данном соотношении, по координатам точек C(2, 1) и D(7, 5) найд¨ем
координаты точки M
1
(x
1
, y
1
):
x
1
=
2 −
1
2
· 7
1/2
= −3, y
1
=
1 −
1
2
· 5
1/2
= −3,
т.е. M
1
(−3, −3).
По координатам точек A(3, 4), B(6 , 2) и формулам (2.6) на йд¨ем координаты
точки M
2
(x
2
, y
2
):
x
2
=
3 + 3 · 6
4
=
21
4
= 5,25, y
2
=
4 + 3 · 2
4
=
10
4
= 2,5,
т.е. M
2
(21/4; 5/2). Теперь без допо лнительных геометрических построений найд¨ем
искомые векторы:
−−→
AM
1
= (−6, −7),
−−→
BM
1
= (−9, −2),
−−→
CM
2
= (13/4; 3/2),
−−→
DM
2
= (−7/4; −5/2),
−−−−→
M
1
M
2
= (33/4; 11/2).
3. Преобразование аффинных систем координат
3.1. Переход от одного базиса к другому
Согласно определению, задание аффинной системы координат связано с вы-
бором ее репера: (O, B = (~e
1
, ~e
2
, ~e
3
)). Изменяя положение точки O и переходя от
одного базиса к другому, мы можем получить различные системы координат,
выбрав из них ту, которая наиболее удобна для решения конкретной задачи.
Начн¨ем с исследования зависимости между различными базисами простран-
ства и между координата ми векторов в различных базисах.
Пусть
B = (~e
1
, ~e
2
, ~e
3
), B
′
= (~e
′
1
, ~e
′
2
, ~e
′
3
) (3.1)
— два базиса векторного пространства.
Представив каждый вектор базиса B
′
в виде линейной комбинации векторов
базиса B , получим
~e
′
1
= c
11
~e
1
+ c
21
~e
2
+ c
31
~e
3
;
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- …
- следующая ›
- последняя »
