Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия. Задорожный В.Н - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

36 Глава 1. Векторная алгебра
~e
′
2
= c
12
~e
1
+ c
22
~e
2
+ c
32
~e
3
; (3.2)
~e
′
3
= c
13
~e
1
+ c
23
~e
2
+ c
33
~e
3
.
Поскольку ранее мы определили операцию умножения вектора на число: α~a =
~aα, то это позволяет распространить определение произведения двух матриц на
случай, когда элементами одной из матриц являются векторы. Поэтому фор-
мулы (3.2) можно записать в матричной форме:
~e
′
1
~e
′
2
~e
′
3
!
=
c
11
c
21
c
31
c
12
c
22
c
32
c
13
c
23
c
33
!
~e
1
~e
2
~e
3
!
=
c
11
c
12
c
13
c
21
c
22
c
23
c
31
c
32
c
33
!
⊺
~e
1
~e
2
~e
3
!
. (3.3)
Транспонирование соотношения (3.3) дает
(
~e
′
1
~e
′
2
~e
′
3
) = (
~e
1
~e
2
~e
3
)
c
11
c
12
c
13
c
21
c
22
c
23
c
31
c
32
c
33
!
(3.4)
или
B
′
= BC. (3.5)
Матрица
C =
c
11
c
12
c
13
c
21
c
22
c
23
c
31
c
32
c
33
!
называется матрицей перехода от старого базиса B = (~e
1
, ~e
2
, ~e
3
) к новому ба-
зису B
′
= (~e
′
1
, ~e
′
2
, ~e
′
3
).
Из формулы (3.5) вытекают следующие свойства преобразований базисов.
Свойство 1 (последовательные преобразования). Если C — матрица пе-
рехода от базиса B к б азису B
′
, а D — матрица перехода от базиса B
′
к ба зису
B
′′
, то матрица CD является матрицей перехода от базиса B к базису B
′′
.
Действительно, последовательное применение формулы (3.5 ) дает
B
′′
= B
′
D = (BC)D,
а свойство ассоциативности умножения матриц позволяет записать
B
′′
= (BC)D = B(CD), (3.6)
что и требовалось доказать.
Свойство 2. Если C — матрица перехода от б азиса B к базису B
′
, то матрицей
перехода от базиса B
′
к ба зису B является обратная матрица C
−1
: B = B
′
C
−1
.
Действительно, полагая в (3.6) B
′′
= B, найд¨ем CD = I, откуда D = C
−1
,
т.е. B = B
′
C
−1
.
Свойство 3. Соотношение (3.5) определяет переход от одного ба зиса к друго-
му тогда и только тогда, когда матрица C не вырождена.
В самом деле, невырожденность матрицы перехода C вытекает из свойства
2, обусловливающего существование матрицы C
−1
. Пусть теперь B = (~e
1
, ~e
2
, ~e
3
)
— базис и C — невырожденная матрица. Тогда векторы ~e
′
1
, ~e
′
2
, ~e
′
3
, получаемые
по формулам (3.5), линейно независимы, так как в противном случае были бы
линейно зависимыми столбцы невырожденной матрицы C, что невозможно в
силу det C 6= 0.

Страницы