Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия. Задорожный В.Н - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

38 Глава 1. Векторная алгебра
или
x
′
1
x
′
2
x
′
3
!
= C
−1
x
1
x
2
x
3
!
. (3.13)
Поскольку матрица, обратна я к диагональной матрице (3.7), имеет вид
C
−1
=
1/λ
1
0 0
0 1/λ
2
0
0 0 1/λ
3
!
,
то, согласно (3.13 ), имеем
x
′
1
x
′
2
x
′
3
!
= C
−1
x
1
x
2
x
3
!
=
x
1
/λ
1
x
2
/λ
2
x
3
/λ
3
!
. (3.14)
Пример 3.1. Найти координаты вектора ~r в базисе B
′
:
~e
′
1
= ~e
1
+ ~e
2
+ 2~e
3
;
~e
′
2
= 2~e
1
−~e
2
; (3.15)
~e
′
3
= −~e
1
+ ~e
2
+ ~e
3
,
если в базисе B = (~e
1
, ~e
2
, ~e
3
) он имеет координаты ~r = (6, −1, 3). Выписать
матрицу перехода от базиса B
′
к ба зису B.
Решение. Запишем (3 .15) в матричной форме:
~e
′
1
x
′
2
~e
′
3
!
=
1 1 2
2 −1 0
−1 1 1
!
~e
1
~e
2
~e
3
!
,
откуда следует, что
C =
1 2 −1
1 −1 1
2 0 1
!
. (3.16)
Теперь координаты вектора ~r = (x
′
1
, x
′
2
, x
′
3
) в базисе B
′
найдутся, согласно (3.13),
как
x
′
1
x
′
2
x
′
3
!
= C
−1
6
−1
3
!
. (3.17)
Поскольку
det C =
1 2 −1
1 −1 1
2 0 1
=
1 2 −1
2 1 0
3 2 0
= −
2 1
3 2
= −1,
а союзная матрица
e
C =
−1 1 2
−2 3 4
1 −2 −3
!
,
то
C
−1
=
1
det C
e
C
⊺
=
1 2 −1
−1 −3 2
−2 −4 3
!
. (3.18)

Страницы