ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3. Преобразование аффинных систем координат 37
Свойство 4. Диагональная матрица перехода
C =
λ
1
0 0
0 λ
2
0
0 0 λ
3
!
(3.7)
соответствует базису B
′
= (~e
′
1
, ~e
′
2
, ~e
′
3
), каждый вектор которого получен из ба-
зиса B = (~e
1
, ~e
2
, ~e
3
) умножением на число λ
1
, λ
2
, λ
3
, соответственно.
Действительно, согласно (3.3) и (3.7), имеем
(
~e
′
1
~e
′
2
~e
′
3
) =
λ
1
0 0
0 λ
2
0
0 0 λ
3
!
(
~e
1
~e
2
~e
3
) = (
λ
1
~e
1
λ
2
~e
2
λ
3
~e
3
) . (3.8)
При λ
1
= λ
2
= λ
3
= 1 ма трица перехода (3.7) является единичной и
называется матрицей тождественного преобразования.
При λ
1
= 1/|~e
1
|, λ
2
= 1/|~e
2
|, λ
3
= 1/|~e
3
| матрица перехода примет в ид
C =
1/|~e
1
| 0 0
0 1/|~e
2
| 0
0 0 1/|~e
3
|
!
и называется нормировочной, поскольку базисные векторы станов я тся единич-
ными:
(
~e
′
1
~e
′
2
~e
′
3
) =
1/|~e
1
| 0 0
0 1/|~e
2
| 0
0 0 1/|~e
3
|
!
(
~e
1
~e
2
~e
3
) = (
~e
1
/|~e
1
| ~e
2
/|~e
2
| ~e
3
/|~e
3
|
) .
(3.9)
3.2. Преобразование координат вектора при изменении базиса
Пусть B = (~e
1
, ~e
2
, ~e
3
) и B
′
= (~e
′
1
, ~e
′
2
, ~e
′
3
) — два ба зиса, связанные матрицей
перехода C:
B
′
= BC, (3.10)
и пусть вектор ~r в базисе B имеет координаты (x
1
, x
2
, x
3
), а в базисе B
′
— коор-
динаты (x
′
1
, x
′
2
, x
′
3
). В матричной форме это означает, что
~r = (
~e
1
~e
2
~e
3
)
x
1
x
2
x
3
!
= (
~e
′
1
~e
′
2
~e
′
3
)
x
′
1
x
′
2
x
′
3
!
. (3.11)
Равенство (3.11) с уч¨етом (3.10) можно записать как
(
~e
1
~e
2
~e
3
)
x
1
x
2
x
3
!
= (
~e
1
~e
2
~e
3
) C
x
′
1
x
′
2
x
′
3
!
.
Перейдя от равенства векторов к равенству их координат, получим
x
1
x
2
x
3
!
= C
x
′
1
x
′
2
x
′
3
!
(3.12)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- …
- следующая ›
- последняя »
