ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
34 Глава 1. Векторная алгебра
Рис. 27.
в) λ = −2. Аналогично двум предыдущим случаям (см. рис. 27) имеем
−−−→
M
1
M = −2
−−−→
MM
2
. Точка M
2
находится посередине между т очками M и M
1
.
Координаты точки M определятся по формулам (2.6):
x =
x
1
− 2x
2
1 − 2
= 2x
2
− x
1
, y = 2y
2
− y
1
, z = 2z
2
−z
1
.
Таким образом, как следует из геометрических по строений (и формул (2.5),
(2.6)), во всех трех случаях точки M
1
, M
2
, M равноудалены друг от друга с
той лишь разницей, что в первом случае в середине располагается точка M, во
втором — точка M
1
и в третьем — точка M
2
.
Пример 2.6. Дан параллелограмм CBDA, в котором
−→
CA = ~a,
−−→
CB =
~
b. Точка
M
1
делит диагональ
−−→
CD в отношении λ
1
= −1/2, а точка M
2
делит диагональ
−→
AB в отношении λ
2
= 3. Выразить векторы
−−→
AM
1
,
−−→
BM
1
,
−−→
CM
2
,
−−→
DM
2
,
−−−−→
M
1
M
2
через векторы ~a и
~
b.
Рис. 28.
Реш ение. Диагонали
−−→
CD и
−→
AB (рис. 28),
согласно определению суммы и разности
векторов, находятся как
−−→
CD = ~a +
~
b,
−→
AB =
~
b −~a.
Согласно условию задачи,
−−→
CM
1
= −
1
2
−−−→
M
1
D,
−−→
CM
1
+
−−−→
M
1
D =
−−→
CD,
откуда
−−→
CM
1
− 2
−−→
CM
1
=
−−→
CD,
−−→
CM
1
= −(~a +
~
b)
и, следовательно,
−−→
AM
1
=
−−→
CM
1
−
−→
CA = −(~a +
~
b) −~a = −2~a −
~
b;
−−→
BM
1
=
−−→
CM
1
−
−−→
CB = −(~a +
~
b) −
~
b = −~a −2
~
b.
Далее, согласно условию задачи,
−−→
AM
2
= 3
−−−→
M
2
B,
−−→
AM
2
+
−−−→
M
2
B =
−→
AB,
откуда
3
−−−→
M
2
B +
−−−→
M
2
B =
−→
AB,
−−−→
M
2
B =
1
4
(
~
b −~a)
и, следовательно,
−−→
CM
2
=
−−→
CB −
−−−→
M
2
B =
~
b −
1
4
(
~
b −~a) =
1
4
~a +
3
4
~
b;
−−→
DM
2
= −
−−→
BD −
−−−→
M
2
B = −~a −
1
4
(
~
b −~a) = −
3
4
~a −
1
4
~
b.
Наконец,
−−−−→
M
1
M
2
= −
−−→
CM
1
+
−−→
CM
2
= ~a +
~
b +
1
4
~a +
3
4
~
b =
5
4
~a +
7
4
~
b.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- …
- следующая ›
- последняя »
