Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия. Задорожный В.Н - 308 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

308 Глава 5. Поверхности и кривые в пространстве
Рис. 176.
39.3. Конические поверхности
Перейд¨ем теперь к рассмотрению конических поверхностей, обусловленных,
как уже отмечалось, преобразованием подобия. Частным случаем преобразова-
ний подобия является гомотетия (от греческого — равнорасположенный).
Гомотетией называется преобразование евклидова пространства, ставя-
щее в соо тветствие каждому вектору
−−−→
M
0
M, выходящему из точки M
0
, вектор
−−−→
M
0
M
′
по правилу
−−−→
M
0
M
′
= k
−−−→
M
0
M, (39.27)
где k — постоянное, отличное от нуля число, на-
Рис. 177.
зываемое коэффициентом подобия (гомотетии), а
M
0
— фиксированная точка, называемая центром
подобия (гомотетии).
♦ При k = 1 гомотетия есть тождественное
преобразование, а при k = −1 — преобразова ние
симметрии о тносительно центра. Из (39.27) сле-
дует, что гомотетия сохраняет все метрические
свойства евклидова пространства (рис. 177).
Конической поверхностью K (конусом) на-
зывается поверхность, инва риантная относитель-
но преобразований гомотетии с произвольным ко-
эффициентом k и центром в заданной точке M
0
(x
0
, y
0
, z
0
), называемой верши-
ной конуса.
♦ Из этого определения следует, что если точка M
1
(x
1
, y
1
, z
1
) принадлежит
конусу (M
1
∈ K), то и вся прямая
x − x
1
x
1
− x
0
=
y − y
1
y
1
− y
0
=
z −z
1
z
1
−z
0
, (39.28)
проходящая через точки M
0
и M
1
, целиком лежит на конусе K.
Все прямые (39.28), целиком принадлежащие конусу, называются его об-
разующими, а всякая кривая L, лежащая на конусе и пересекающая все его
образующие, называется н аправляющей этого конуса.
Найд¨ем уравнение конической поверхности с заданной вершиной M
0
(x
0
, y
0
, z
0
)
и направляющей, описываемой уравнениями
F
1
(x, y, z) = 0, F
2
(x, y, z) = 0. (39.29)
Согласно определению, точка M(x, y, z) принадлежит конусу K только в том
случае, если существует такое t, что точка M
t
с ко ординатами M
t
(x + t(x −
x
0
), y + t(y −y
0
), z + t(z − z
0
)) лежит на направляющей L, т.е.
F
1
(x + t(x − x
0
), y + t(y −y
0
), z + t(z − z
0
)) = 0,
F
2
(x + t(x − x
0
), y + t(y −y
0
), z + t(z − z
0
)) = 0.
(39.30)

Страницы