Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия. Задорожный В.Н - 309 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

39. Поверхности цилиндрические, конические и вращения 309
Исключив параметр t из системы (3 9.30), получим соотношение вида F (x, y, z) =
0, которое и является уравнением заданного конуса K.
♦ Если направляющ ая конуса лежит в одной из координатных плоско стей,
например z = h, т.е. задается уравнениями
F (x, y) = 0, z = h, (39.31)
то система (39.30) примет вид
f(x + t(x −x
0
), y + t(y − y
0
)) = 0,
z + t(z − z
0
) − h = 0.
Выразив из второго уравнения
t =
h − z
z − z
0
=
(h − z
0
) − (z − z
0
)
z −z
0
=
h − z
0
z − z
0
− 1
и подста вив его в первое, найд¨ем уравнение конуса с вершиной в точке M
0
и
направляющей (39.31):
F
x
0
+
h − z
0
z −z
0
(x − x
0
), y
0
+
h − z
0
z − z
0
(y − y
0
)
= 0. (39.32)
Из ( 39.32) следует, что для частного случая x
0
= y
0
= z
0
, когда вершина конуса
находится в начале координат, его уравнение имеет вид
F
h
x
z
, h
y
z
= 0. (39.33)
Нетрудно заметить, что уравнение (39.33) однородно о тносительно x, y и z, т.е.
не меняется при замене x, y, z на tx, ty, tz. Анало гично уравнение (39.32) одно-
родно от но сительно (x − x
0
), (y −y
0
), (z − z
0
).
Пример 39.8. Составить уравнение конуса, вершина ко-
торого находится в нача ле коо рдинат, а направляющая
задана кривой, по которой пересекаются сфера x
2
+ y
2
+
(z − 6)
2
= 25 и плоскость z = 3; изобразить этот конус.
Рис. 178.
Решение. В плоско сти z = 3 направляющая конуса за-
да¨ется уравнением x
2
+ y
2
+ (3 −6)
2
= 25, что соответству-
ет окружности x
2
+ y
2
= 16. С уч¨етом этого и согласно
(39.33), имеем
3x
z
2
+
3y
z
2
= 16.
Отсюда после преобразования получим уравнение конуса (рис. 178)
9(x
2
+ y
2
) = 16z
2
.
Отметим, что, как и в примере 39.5, это же уравнение можно получить враще-
нием прямой 3x + 4z, y = 0 вокруг оси Oz.
Пример 39.9. Составить уравнение конуса, вершина кото ро го находится в на -
чале координа т, а направляющая задана уравнениями
a) x + y = 1, z = h; б)
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1, z = h.
Построить эти конусы.

Страницы