Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия. Задорожный В.Н - 329 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

40. Приведение уравнений поверхностей к каноническому виду 329
класс цилиндрический
название параболический цилиндр
уравнение x
2
= 2py
инварианты ∆ = det Q = 0, δ = det G = 0, S = Sp G = 1, T = 0;
полуинварианты ∆
′
= −p
2
, ∆
′′
= 0;
15 Тип поверхности V
класс цилиндрический
название две параллельные плоскости
уравнение x
2
= a
2
, a 6= 0
инварианты ∆ = det Q = 0, δ = det G = 0, S = Sp G = 1 − a
2
, T = 0;
полуинварианты ∆
′
= 0, ∆
′′
= −a
2
;
16 Тип поверхности V
класс цилиндрический
название две мнимые параллельные плоскости
уравнение x
2
= −a
2
, a 6= 0
инварианты ∆ = det Q = 0, δ = det G = 0, S = Sp G = 1 + a
2
, T = 0;
полуинварианты ∆
′
= 0, ∆
′′
= a
2
;
17 Тип поверхности V
класс цилиндрический
название две совпадающие плоскости
уравнение x
2
= 0
инварианты ∆ = det Q = 0, δ = det G = 0, S = Sp G = 1, T = 0;
полуинварианты ∆
′
= 0, ∆
′′
= 0.
Доказательство. Начн¨ем с уравнений т ипа I. Если все λ
i
, i = 1, 2, 3, имеют
один и тот же знак, а a
′′
0
— противоположный, то делением на −a
′′
0
и переобозна-
чением (при необходимости) осей уравнение приводится к виду 1 — уравнению
эллипсоида.
Если все λ
i
и a
′′
0
имеют один и тот же знак, то делением на a
′′
0
и переобозна-
чением (при необходимости) осей уравнение приводится к в иду 2 — уравнению
мнимого эллипсоида.
Если все λ
i
имеют один и тот же знак, а a
′′
0
= 0 , то переобозначением осей
уравнение приводится к виду 6 — уравнению мнимого конуса.
Если λ
i
имеют разные знаки, а a
′′
0
= 0, то переобозначением осей уравнение
приводится к виду 5 — уравнению конуса.
Если λ
i
имеют разные знаки, прич¨ем один из них имеет тот же знак, что и
a
′′
0
, то переобозначением осей и делением на −a
′′
0
уравнение приводится к виду
3 — уравнению однополостного гиперболоида.
Если λ
i
имеют разные знаки, прич¨ем два из них имеют тот же знак, что и
a
′′
0
, то переобозначением осей и делением на −a
′′
0
уравнение приводится к виду
4 — уравнению двуполостного гиперболоида.
Таким образом, уравнения типа I приводят к уравнениям 1–6. Аналогично
доказывается утверждение и для уравнений других типов (см. также доказа-
тельство теоремы 40.1 для двумерного случая).
Пример 40.2. Привести к каноническому виду и построить поверхность вто-
рого порядка
6x
2
+ 5y
2
+ 7z
2
−4xy + 4xz − 9 = 0.
Решение. Для данного уравнения поверхности второго порядка матрицы квад-
ратичной формы G и линейной фо рмы L имеют вид
G =
6 −2 2
−2 5 0
2 0 7
!
, (40.30)

Страницы