ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
40. Приведение уравнений поверхностей к каноническому виду 331
Поскольку
L
′
= LP = (0 0 0)P = (0 0 0),
то исходное уравнение запишется в виде
λ
1
(x
′
)
2
+ λ
2
(y
′
)
2
+ λ
3
(z
′
)
2
−9 = 3(x
′
)
2
+ 6(y
′
)
2
+ 9(z
′
)
2
− 9 = 0
Рис. 193.
или
(x
′
)
2
3
+
(y
′
)
2
3/2
+ (z
′
)
2
= 1. (40.39)
Уравнение (40.39) является канонической формой
исходного уравнения поверхности и определяет трех-
осный эллипсоид с полуосями a =
√
3, b =
p
3/2,
c = 1 (рис. 193).
Пример 40.3. Привести к каноническому виду и
построить поверхность второго порядка
4x
2
+4y
2
−8z
2
−10xy+4yz+4zx−16x−16y−8z+72 = 0.
Решение. Для данного уравнения поверхности матрицы квадратичной фо рмы
G и линейной формы L имеют в ид
G =
4 −5 2
−5 4 2
2 2 −8
!
, (40.40)
L = (−8 −8 −4). (40.41)
Для матриц (40.40) решаем задачу на собственные значения и собственные век-
торы:
GE = λE
или
(G −λI)E =
4 − λ −5 2
−5 4 −λ 2
2 2 −8 − λ
!
E = 0, E =
m
n
p
!
. (40.42)
Собственные значения λ находятся, как известно, из условия
det
4 − λ −5 2
−5 4 −λ 2
2 2 −8 − λ
!
= (λ
2
− 81)λ = 0, (40.43)
откуда λ
1
= 9, λ
2
= 9, λ
3
= 0.
Подставив поочередно λ
1
, λ
2
, λ
3
в систему (40.42), найд¨ем собственные век-
торы
E
1
= m
1
1
−1
0
!
, E
2
= m
2
1
1
−1
!
, E
3
= m
3
2
2
1
!
.
Из условия нормировки E
⊺
i
E
i
= 1 определим m
1
= 1/
√
2, m
2
= 1/3
√
2, m
3
= 1/3.
С уч¨етом этого получим ортонормированную систему собственных векторов
E
1
=
1
√
2
1
−1
0
!
, E
2
=
1
3
√
2
1
1
−1
!
, E
3
=
1
3
2
2
1
!
. (40.44)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 329
- 330
- 331
- 332
- 333
- …
- следующая ›
- последняя »
