Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия. Задорожный В.Н - 332 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

332 Глава 5. Поверхности и кривые в пространстве
По векторам (40.44) найд¨ем новый ортонормированный базис в системе коор-
динат x
′
Oy
′
:
~e
′
1
=
1
√
2
~e
1
−
1
√
2
~e
2
, ~e
′
2
=
1
3
√
2
~e
1
+
1
3
√
2
~e
2
−
4
3
√
2
~e
3
, ~e
′
3
=
2
3
~e
1
+
2
3
~e
2
+
1
3
~e
3
(40.45)
и матрицу перехода
P = (E
1
E
2
E
3
) =
1
3
√
2
3 1 2
√
2
−3 1 2
√
2
0 −4
√
2
. (40.46)
В базисе (4 0.45) квадратичная форма уравнения поверхности примет вид
X
⊺
GX = (X
′
)
⊺
λ
1
0 0
0 λ
2
0
0 0 λ
3
!
X
′
= 9(x
′
)
2
−9(y
′
)
2
(40.47)
и соответственно преобразования координат, с уч¨етом (40.46),
X =
x
y
z
!
= P X
′
= (E
1
E
2
E
3
)
x
′
y
′
z
′
!
=
1
3
√
2
3x
′
+ y
′
+ 2
√
2z
′
−3x
′
+ y
′
+ 2
√
2z
′
−4y
′
+
√
2z
′
. (40.48)
Поскольку, согласно (40.4 1),
L
′
= LP = (−8 −8 − 4 )P =
1
3
√
2
(0 0 −12), (40.49)
то исходное уравнение с уч¨етом (40.47) запишется в виде
9(x
′
)
2
−9(y
′
)
2
− 24z
′
+ 72 = 0
Рис. 194.
или
(x
′
)
2
8/3
+
(y
′
)
2
8/3
= z
′
−3. (40.50)
С помощью пара ллельного переноса
x
′′
= x
′
, y
′′
= y
′
, z
′′
= z
′
− 3 (40.51)
из (40.50) получим каноническое уравнение ги-
перболического параболоида ( рис. 194)
(x
′′
)
2
8/3
+
(y
′′
)
2
8/3
= z
′′
. (40.52)
Результ ирующее преобразование запишется ка к
x =
1
3
√
2
(3x
′′
+ y
′′
+ 2
√
2x
′′
) + 2,
y =
1
3
√
2
(−3x
′′
+ y
′′
+ 2
√
2x
′′
) + 2, (40.53)
z =
1
3
√
2
(−4y
′′
+
√
2x
′′
) + 1.
а каноническая система координат, соответственно, имеет б азис (40.45) и начало
в точке O
′
(2, 2, 1).

Страницы