ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
40. Приведение уравнений поверхностей к каноническому виду 333
Пример 40.4. Привести к каноническому виду и построить поверхность вто-
рого порядка
x
2
−2yz = 0.
Решение. Для данного уравнения поверхности имеем ма трицу квадратичной
формы
G =
1 0 0
0 0 −1
0 −1 0
!
, (40.54)
и нулевую матрицу линейной формы:
L = (0 0 0). (40.55)
Для матриц (40.54) решаем задачу на собственные значения и собственные век-
торы:
GE = λE
или
(G − λI)E =
1 − λ 0 0
0 −λ −1
0 −1 −λ
!
E = 0, E =
m
n
p
!
. (40.56)
Собственные значения λ находятся из условия
det
1 − λ 0 0
0 −λ −1
0 −1 −λ
!
= (1 − λ)
2
(1 + λ) = 0, (40.57)
откуда λ
1
= 1, λ
2
= 1, λ
3
= −1.
Подставив поочередно λ
1
, λ
2
, λ
3
в систему (40.56), найд¨ем собственные век-
торы:
E
1
= m
1
1
0
0
!
, E
2
= m
2
0
1
−1
!
, E
3
= m
3
0
1
1
!
.
Из условия нормировки E
⊺
i
E
i
= 1 определим m
1
= 1, m
2
= 1/
√
2, m
3
= 1/
√
2. С
уч¨етом этого получим ортонормированную систему собственных векторов
E
1
=
1
0
0
!
, E
2
=
1
√
2
0
1
−1
!
, E
3
=
1
√
2
0
1
1
!
. (40.58)
По векторам (40.58) найд¨ем новый ортонормированный базис в системе коор-
динат x
′
Oy
′
:
~e
′
1
= ~e
1
, ~e
′
2
=
1
√
2
~e
1
−
1
√
2
~e
2
, ~e
′
3
=
1
√
2
~e
2
+
1
√
2
~e
3
, (40.59)
матрицу перехода
P = (E
1
E
2
E
3
) =
1 0 0
0 1/
√
2 −1/
√
2
0 1/
√
2 1/
√
2
(40.60)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 331
- 332
- 333
- 334
- 335
- …
- следующая ›
- последняя »
