Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия. Задорожный В.Н - 335 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

40. Приведение уравнений поверхностей к каноническому виду 335
репера {O,
~
f,~g, ~e
′
3
} к реперу {O,
~
f,
~
h, ~e
′
3
}, прич¨ем плоскость O
~
f
~
h совпадет с плоско-
стью O~e
′
1
~e
′
2
, а матрица этого перехода равна
P
2
=
1 0 0
0 cos θ −sin θ
0 sin θ cos θ
!
. (40.65)
Осталось осуществить поворот вокруг вектора ~e
′
3
, т.е. в плоскости O
~
f
~
h = O~e
′
1
~e
′
2
,
чтобы совместить
~
f с ~e
′
1
. При этом, в силу согласованности ориентаций, ~e
2
перейдет
в вектор ~e
′
2
. Соответствующая матрица перехода имеет вид
P
3
=
cos ψ −sin ψ 0
sin ψ cos ψ 0
0 0 1
!
. (40.66)
Таким образом, результирующая матрица перехода от репера {O, ~e
1
, ~e
2
, ~e
3
} к новому
реперу {O,~e
′
1
, ~e
′
2
, ~e
′
3
} есть
P = P
1
P
2
P
3
=
=
cos ϕ cos ψ − sin ϕ cos θ sin ψ −cos ϕ sin ψ −sin ϕ cos θ cos ψ sin ϕ sin θ
sin ϕ cos ψ + cos ϕ cos θ sin ψ −sin ϕ sin ψ + cos ϕ cos θ cos ψ −cos ϕ sin θ
sin θ s in ψ sin θ cos ψ cos θ
!
.
(40.67)
Пример 40.5. Найти углы Эйлера при переходе к новому базису из примера 40.3.
Решение. В примере 40.3 исходный базис ~e
1
, ~e
2
, ~e
3
связан с новым ~e
′
1
, ~e
′
2
, ~e
′
3
соотно-
шениями (40.45)
~e
′
1
=
1
√
2
~e
1
−
1
√
2
~e
2
, ~e
′
2
=
1
3
√
2
~e
1
+
1
3
√
2
~e
2
−
4
3
√
2
~e
3
, ~e
′
3
=
2
3
~e
1
+
2
3
~e
2
+
1
3
~e
3
.
Согласно определению, для нахождения углов Эйлера найд¨ем сначала вектор
[~e
3
, ~e
′
3
] = −
2
3
~e
1
+
2
3
~e
2
и его модуль
|[~e
3
, ~e
′
3
]| =
r
4
9
+
4
9
=
2
√
2
3
,
после чего запишем вектор (40.63):
~
f =
[~e
3
, ~e
′
3
]
|[~e
3
, ~e
′
3
]|
= −
1
√
2
~e
1
+
1
√
2
~e
2
. (40.68)
Зная
~
f, найд¨ем
а) cos ϕ = (~e
1
,
~
f) = −1/
√
2 и, следовательно, ϕ = 3π/4, sin ϕ = 1/
√
2;
б) cos ψ = (
~
f, ~e
′
1
) = −1 и, следовательно, ψ = π, sin ψ = 0;
в) cos θ = (~e
3
, ~e
′
3
) = 1/3, θ = arccos(1/3); sin θ =
p
1 − 1/9 = 2
√
2/3.
Таким образом, в примере 40.3 переход к новому базису осуществляется тремя
поворотами: поворотом вокруг ~e
3
на у гол ϕ = 3π/4, поворотом вокруг
~
f на у гол
ψ = π и, наконец, поворотом вокруг ~e
′
3
на угол θ = arccos(1/3). Подставив найденные
углы в (40.67), получим выражение (40.46) из примера 40.3.

Страницы