Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия. Задорожный В.Н - 337 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

40. Приведение уравнений поверхностей к каноническому виду 337
Таблица 5
Невырождающиеся Вырождающиеся
поверхности ∆ 6= 0 поверхности
∆ < 0 ∆ > 0 ∆ = 0
Центральные δS > 0 № 1 – эллипсоид № 2 – мнимый № 6 – мнимый
поверхности T > 0 эллипсоид конус
δ 6= 0 δS 6 0 № 4 – двуполост- № 3 – однополост- № 5 – конус
T 6 0 ный гиперболоид ный гиперболоид
Нецентральные № 7 – эллиптиче- № 8 – гиперболиче- № 9–№ 17 –
поверхности ский параболоид ский параболоид Цилиндрические
δ = 0 и распадающиеся
поверхности
(табл. 6)
Чтобы определить, яв ляют ся ли поверхности, у которых инварианты ∆ =
δ = 0, цилиндрическими и распадающимися, требуются полуинварианты (см.
табл. 6).
Таблица 6
Цилиндрические поверхности ∆
′
6= 0 Распадающиеся поверх ности ∆
′
6= 0
T > 0 Эллиптические цилиндры № 11 – две мнимые пересекающиеся
№ 9 – действитель- № 10 – мнимый плоскости
ный ∆
′
S < 0 ∆
′
S > 0
T > 0 № 12 – гиперболический цилиндр № 13 – две пересекающиеся плоскости
T = 0 № 14 – параболический цилиндр № 15 – две № 17 – две
параллельные совпадающие
плоскости ∆
′′
< 0 плоскости
№ 16 – две мнимые ∆
′′
= 0
параллельные
плоскости ∆
′′
> 0
Пример 40.6. Показать, что для всех поверхностей 2-го порядка, за исключе-
нием цилиндрических (∆ = δ = 0), каноническое уравнение имеет вид:
для типа I (λ
1
λ
2
λ
3
6= 0) — центральных
λ
1
(x
′′
)
2
+ λ
2
(y
′′
)
2
+ λ
3
(z
′′
)
2
+
∆
λ
1
λ
2
λ
3
= 0; (40.78)
для типа II (λ
1
λ
2
a
′′
3
6= 0, λ
3
= 0) — нецентральных
λ
1
(x
′′
)
2
+ λ
2
(y
′′
)
2
− 2
r
−
∆
λ
1
λ
2
z
′′
= 0. (40.79)
Решение. Рассмотрим центральную поверхность, для которой
δ = det G =
a
11
a
12
a
13
a
12
a
22
a
23
a
13
a
23
a
33
6= 0, ∆ = det Q =
a
11
a
12
a
13
a
1
a
12
a
22
a
23
a
2
a
13
a
23
a
33
a
3
a
1
a
2
a
3
a
0
6= 0. (40.80)
В кано нической системе координат уравнения типа I имеют вид
λ
1
(x
′′
)
2
+ λ
2
(y
′′
)
2
+ λ
3
(z
′′
)
2
+ a
′′
0
= 0 (40.81)
или в матричной форме
(Y
′′
)
⊺
Q
′′
Y
′′
= (x
′′
y
′′
z
′′
1)
λ
1
0 0 0
0 λ
2
0 0
0 0 λ
3
0
0 0 0 a
′′
0
x
′′
y
′′
z
′′
1
= 0. (40.82)

Страницы