ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
40. Приведение уравнений поверхностей к каноническому виду 339
Это уравнение, естественно, совпадает с уравнением (40.33) для собственных
значений матрицы G и, следовательно, имеет те же корни: λ
1
= 3, λ
2
= 6,
λ
3
= 9. С уч¨етом этого каноническое уравнение поверхности будет иметь вид
(40.78):
3(x
′′
)
2
+ 6(y
′′
)
2
+ 9(z
′′
)
2
−
1458
3 · 6 · 9
= 0
или
(x
′′
)
2
3
+
(y
′′
)
2
3/2
+ (z
′′
)
2
= 1.
Это уравнение определяет трехосный эллипсоид и совпадает с (40.39), получен-
ным в примере 40.2.
♦ Тот факт, что исходное уравнение определяет эллипсоид, следует сразу из
табл. 6, поскольку ∆ = −1458 < 0 и T = 99 > 0 (δS = 2916 > 0).
Пример 40.8. С помощью инвариантов записать ка но ническую форму урав-
нения поверхности из примера 40.3.
Решение. Как следует из примера 40.3, уравнение поверхности задается мат-
рицей
Q =
4 −5 2 −8
−5 4 2 −8
2 2 −8 −4
−8 −8 −4 72
,
определитель которой равен
det Q =
4 −5 2 −8
−5 4 2 −8
2 2 −8 −4
−8 −8 −4 72
=
4 −9 2 −8
−5 9 2 −8
2 0 −8 −4
−8 0 −4 72
=
−1 0 4 −16
−5 9 2 −8
2 0 −8 −4
−8 0 −4 72
=
= 9
−1 4 −16
2 −8 −4
−8 −4 72
= 9
−1 4 −16
0 0 −36
−8 −4 72
= 9 · 36
−1 4
−8 −4
= 9 · 36
2
= 11664 > 0 .
Это означает, что данная поверхность является невырождающейся. Вычислим
другие инварианты:
δ = det G =
4 −5 2
−5 4 2
2 2 −8
=
−1 0 4
−5 9 2
2 0 −8
= 0; S = Sp
4 −5 2
−5 4 2
2 2 −8
!
= 0;
T =
4 2
2 −8
+
4 2
2 −8
+
4 −5
−5 4
= −81 < 0 .
С их помощью можно записать характеристическое уравнение (40.70):
λ
3
− 81λ = 0.
Это уравнение, естественно, совпадает с уравнением (40.43) для собственных
значений матрицы G и, следовательно, имеет те же корни: λ
1
= 9, λ
2
= −9,
λ
3
= 0. С уч¨етом этого каноническое уравнение поверхности будет иметь вид
(40.79):
9(x
′′
)
2
− 9(y
′′
)
2
−2
s
−
11664
9 · (−9)
z
′′
= 0
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 337
- 338
- 339
- 340
- 341
- …
- следующая ›
- последняя »
