ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
340 Глава 5. Поверхности и кривые в пространстве
или
9(x
′′
)
2
− 9(y
′′
)
2
−24z
′′
= 0.
Это уравнение определяет гиперболический параболоид и совпадает с (40.52),
полученным в примере 40.3.
♦ То, что исходное уравнение определяет гиперболический параболоид, сле-
дует сразу из табл. 6, поскольку ∆ = 11664 > 0 и δ = 0.
Пример 40.9. С помощью инвариантов записать каноническую форму урав-
нения поверхности из примера 40.4.
Решение. Ка к следует из примера 40.4, уравнение поверхности задается мат-
рицей
Q =
1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 0
,
определитель которой равен
det Q =
1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 0
= 0.
Это означает, что данная поверхность является вырождающейся центральной
поверхностью. Вычислим другие инварианты:
δ = det G =
1 0 0
0 0 1
0 1 0
= −1 < 0; S = Sp
1 0 0
0 0 1
0 1 0
!
= 1 > 0; T = −1 < 0.
С их помощью можно записать характеристическое уравнение (40.70):
λ
3
− λ
2
−λ + 1 = λ
2
(λ −1) −(λ −1) = (λ − 1)
2
(λ + 1) = 0.
Это уравнение совпадает с уравнением (40.57) для собственных значений мат-
рицы G и, следовательно, имеет те же корни: λ
1
= 1, λ
2
= 1, λ
3
= −1. С уч¨етом
этого каноническое уравнение поверхности будет иметь вид (40.78):
(x
′′
)
2
+ (y
′′
)
2
− (z
′′
)
2
= 0.
Это уравнение определяет конус и совпадает с (40.62), полученным ранее в
примере 40.4.
♦ Что исходное уравнение определяет конус, следует сразу из табл. 6, по-
скольку ∆ = 0 и T = −1 < 0 (δS = −1 < 0).
40.3. Линейчатые поверхности второго порядка
Л инейчатой поверхностью называется поверхность, которую описывает
прямая, называемая образующей, при движении по некото ро й линии, называе-
мой направляющей.
Выше мы уже рассмотрели два вида линейчатых поверхностей: цилиндри-
ческие и конические. Существуют и другие способы образования линейчатых
поверхностей, но их рассмотрение требует понятий дифференциальной геомет-
рии и в ыходит за рамки нашего курса.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 338
- 339
- 340
- 341
- 342
- …
- следующая ›
- последняя »
