ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
338 Глава 5. Поверхности и кривые в пространстве
Из (40.81) следует, что в канонической системе координат
det Q
′′
= λ
1
λ
2
λ
3
a
′′
0
= ∆ = det Q. (40.83)
В силу инвариантности величины ∆ из (40.83) найд¨ем
a
′′
0
=
∆
λ
1
λ
2
λ
3
=
∆
δ
.
Подстановка этого выражения в (40.81) приводит к (40.78), что и требовалось
показать.
Рассмотрим теперь уравнения типа II, которые в канонической системе ко-
ординат имеют вид
λ
1
(x
′′
)
2
+ λ
2
(y
′′
)
2
+ 2a
′′
3
z
′′
= 0 (40.84)
или в матричной форме
(Y
′′
)
⊺
Q
′′
Y
′′
= (x
′′
y
′′
z
′′
1)
λ
1
0 0 0
0 λ
2
0 0
0 0 0 a
′′
3
0 0 a
′′
3
0
x
′′
y
′′
z
′′
1
= 0. (40.85)
Из (40.85) следует, что в канонической системе координат
det Q
′′
= −λ
1
λ
2
(a
′′
3
)
2
= ∆ = det Q. (40.86)
В силу инвариантности величины ∆ из (40.86) найд¨ем
a
′′
3
= ±
r
−
∆
λ
1
λ
2
.
Подстановка этого выражения в (40.84) приводит к (40.79), что и требовалось
показать.
Пример 40.7. С помощью инвариантов записать каноническую форму урав-
нения поверхности из примера 40.2.
Решение. Как следует из примера 40.2, уравнение поверхности задается мат-
рицей
Q =
6 −2 2 0
−2 5 0 0
2 0 7 0
0 0 0 9
,
определитель которой равен det Q = −1458 < 0. Это означает, что данная по-
верхность является невырождающейся. Вычислим другие инварианты:
δ = det
6 −2 2
−2 5 0
2 0 7
!
= 162 > 0; S = Sp
6 −2 2
−2 5 0
2 0 7
!
= 18 > 0;
T =
5 0
0 7
+
6 2
2 7
+
6 −2
−2 5
= 99 > 0.
С их помощью можно записать характерист ическое уравнение (40.70 ):
λ
3
− 18λ
2
+ 99λ − 162 = 0.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 336
- 337
- 338
- 339
- 340
- …
- следующая ›
- последняя »
