Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия. Задорожный В.Н - 336 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

336 Глава 5. Поверхности и кривые в пространстве
40.2. Инварианты уравнения поверхности второго порядка
Выше мы рассмотрели возможность приведения общего уравнения поверх-
ности второго порядка к каноническому виду с помощью собственных векторов
матрицы G, т.е. нахождением канонической системы координат, в которой мат -
рица G диагонализируется. Диагональными элементами являются собственные
числа λ
1
, λ
2
, λ
3
, которые находятся из условия
det(G −λI) =
a
11
− λ a
12
a
13
a
12
a
22
− λ a
23
a
13
a
23
a
33
−λ
= 0. (40.69)
Раскрыв определитель (40.6 9), получим кубическое уравнение для определения
параметра λ:
λ
3
− λ
2
S + λT −δ = 0, (40.70)
где
δ = det G =
a
11
a
12
a
13
a
12
a
22
a
23
a
13
a
23
a
33
(40.71)
S = Sp G = a
11
+ a
22
+ a
33
, (40.72)
и если через δ
ii
, i = 1 , 2, 3, обозначить алгебраические допо лнения матрицы G
к элементам a
ii
, т.е.
δ
11
=
a
22
a
23
a
23
a
33
, δ
22
=
a
11
a
13
a
13
a
33
, δ
33
=
a
11
a
12
a
12
a
22
, (40.73)
то
T = δ
11
+ δ
22
+ δ
33
. (40.74)
Уравнение (40.70) называется характеристическим уравнением поверх-
ности 2-го порядка.
Оно соответствует аналогичному квадратному характеристическому уравне-
нию (23.18), ко эффициенты которого, согласно теореме 23.1, являются ортого-
нальными инвариантами. Ко эффициенты уравнения (40.70) также ортогональ-
ные инварианты, т.е. они не изменяются при ортогональных преобразованиях
системы координат.
Теорема 40.3. Следующие величины, характеризующие уравнения поверхно-
сти второго порядка:
∆ = det Q, δ = det G, S = Sp G, T = δ
11
+ δ
22
+ δ
33
, (40.75)
являются ортогональными инвариантами, а величины
∆
′
= ∆
11
+ ∆
22
+ ∆
33
, (40.76)
где ∆
ii
— алгебраические дополнения к элементу a
ii
в матрице Q, и
∆
′′
=
a
11
a
1
a
1
a
0
+
a
22
a
2
a
2
a
0
+
a
33
a
3
a
3
a
0
(40.77)
— ее полуинвариантами (или инвариантами при у словии ∆ = δ = 0).
Доказательство для инвариантов аналогично доказательству теоремы 23.1, а
для полуинвариантов — теоремы 2 3.2.
В следствии 40.2 вычислены все инварианты для всех поверхностей 2-го
порядка в их канонических системах координат. На основе этих значений по-
лучим табл. 5, где приведена классификация поверхностей 2-го порядка по их
инвариантам.

Страницы