Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия. Задорожный В.Н - 334 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

334 Глава 5. Поверхности и кривые в пространстве
и, соответственно, преобразования координат:
X =
x
y
z
!
P X
′
=
1 0 0
0 1/
√
2 −1/
√
2
0 1/
√
2 1/
√
2
x
′
y
′
z
′
!
=
x
′
1
√
2
(y
′
−z
′
)
1
√
2
(y
′
+ z
′
)
. (40.61)
В базисе (40.59) квадратичная форма и, следовательно, само уравнение по-
верхности примет вид
X
⊺
GX = (X
′
)
⊺
1 0 0
0 1 0
0 0 −1
!
X
′
= 0
или
(x
′
)
2
+ (y
′
)
2
−(z
′
)
2
= 0. (40.62)
Рис. 195.
Уравнение (40.62) определяет круговой конус, ось Oz
′
кот орого, согласно матрице перехода (4 0.60), распола-
гается в плоскости x = x
′
= 0 и яв ляется диагональю
первой четверти плоскости yOz (рис. 195).
Из рис. 195 и явного вида матрицы P (40.60) следует,
что система координат x
′
Oy
′
получается из xOy поворотом
на угол ϕ = π/2 (cos π/4 = sin π/4 = 1/
√
2) вокруг оси Ox.
Покажем, что в общем случае переход от одной системы ко-
ординат к другой можно осуществить с помощью тр¨ех пово-
ротов вокруг некоторых осей в Oxyz.
Рассмотрим переход от прямоугольной системы координат с репером {O, ~e
1
, ~e
2
, ~e
3
}
к прямоугольной системе {O, ~e
′
1
, ~e
′
2
, ~e
′
3
} той же ориентации. Если ~e
3
= ~e
′
3
, то этот пе-
реход сводится к преобразованию координат на плоскости, пе рпендикулярной вектору
~e
3
. Пусть векторы ~e
3
и ~e
′
3
не коллинеарны. Каждый из векторов ~e
3
и ~e
′
3
ортогонален
к плоскости π = {O, ~e
1
, ~e
2
} и π
′
= {O, ~e
′
1
, ~e
′
2
}, соответственно. Тогда вектор
~
f =
[~e
3
, ~e
′
3
]
|[~e
3
, ~e
′
3
]|
(40.63)
является направляющим вектором прямой ℓ, по которой пересекаются эти плоскости:
ℓ = π ∩ π
′
.
Выделим углы, на которые мы будем производить повороты вокруг выбранных
осей:
а) угол ϕ ∈ [0, 2π[ — угол от ~e
1
к
~
f (40.63);
б) угол ψ ∈ [0, 2π[ — угол от
~
f к ~e
′
1
;
в) угол θ ∈ [0, π[ — угол от ~e
3
к ~e
′
3
.
Углы ϕ, ψ, θ называются углами Эйлера.
Произвед¨ем первый переход от исходного репера {O, ~e
1
, ~e
2
, ~e
3
} к реперу {O,
~
f,~g, ~e
3
},
имеющему ту же ориентацию. Это соответствует повороту системы координат вокруг
~e
3
на угол ϕ от ~e
1
к
~
f.
Матрица этого перехода имеет вид
P
1
=
cos ϕ −sin ϕ
sin ϕ cos ϕ 0
0 0 1
!
. (40.64)
Теперь провед¨ем поворот вокруг вектора
~
f так, чтобы вектор ~e
3
совместился с век-
тором ~e
′
3
. В силу выбора
~
f это вращение на угол θ от ~e
3
к ~e
′
3
. Получим переход от

Страницы