ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
342 Глава 5. Поверхности и кривые в пространстве
Стало быть, при заданных u, v система I действительно определяет одну пря-
мую. Меняя параметры u, v, мы получим совокупность, или семейство, прямых
l
I
. В силу (40.88) любая точка M(x, y, z), координаты которой удовлетворяют
системе I, лежит на поверхности этого гиперболоида. Следовательно, каждая
прямая семейства l
I
также целико м лежит на поверхности однополостного ги-
перболоида. Такие прямые, как уже отмечалось, называются прямолинейными
образующими.
Проведя аналогичные рассуждения для системы II, убеждаемся, что она по-
рождает еще одно семейство прямолинейных образующих l
II
с направляющими
векторами
~
S
II
= [
~
N
1
,
~
N
2
] = −~ı
v
2
−u
2
bc
+ ~
2uv
ac
−
~
k
u
2
+ v
2
ab
6= 0. (40.90)
Покажем теперь, что через каждую точку гиперболоида (40.87) проходит
ровно одна прямая каждого семейства.
Пусть точка M
0
(x
0
, y
0
, z
0
) принадлежит гиперболоиду. Тогда, положив в се-
мействе l
I
параметры u = 1 + y
0
/b, v = x
0
/a + z
0
/c, а в семействе l
II
u =
1 −y
0
/b, v = x
0
/a + z
0
/c, получим две прямые, проходящие через заданную точ-
ку M
0
(x
0
, y
0
, z
0
). В этом нетрудно убедиться, подставив параметры в системы
уравнений I и II.
Поскольку одно из чисел 1 −y
0
/b или 1 +y
0
/b отлично от нуля, то пара (u, v)
определена в точке M
0
(x
0
, y
0
, z
0
) однозначно (с точностью до множителя) для
каждого семейства. Это и означает, что через точку M
0
проходит по одной пря-
мой каждого семейства. Векторы
~
S
I
(40.89) и
~
S
II
(40.90) однозначно определяют
направляющие векторы этих прямых. Поскольку u
2
+ v
2
6= 0, образующие не
могут быть параллельны плоскости xOy. Следовательно, все прямолинейные
образующие пересекают ось Oz, а значит, и горловой эллипс x
2
/a
2
+ y
2
/b
2
= 1
(рис. 197,a).
Рис. 197. Горловой эллипс (a), R
1
= R
2
= R
3
= a = b (б), R
1
> R
2
> R
3
> R
4
(в)
Рассуждая аналогичным образом, можно убедиться, что две прямые из од-
ного семейства скрещиваются, а из разных — либо пересекаются, либо парал-
лельны.
Таким об ра зом, мы доказали следующее утверждение.
Теорема 40.4. Однополостный гиперболоид (40.87) имеет два семейст ва пря-
молинейных образующих l
I
и l
II
. Через каждую точку проходит ровно одна
прямая каждого семейства, и эти п рямые пересекаются ровно в одной точ-
ке. Две различные прямые из одного семейства скрещиваются, а из разных —
пересекаются или параллельны.
Наличие прямоугольных образующих у однополостного гиперболоида ис-
пользуется в строительной технике. Идея такого использования и практическое
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 340
- 341
- 342
- 343
- 344
- …
- следующая ›
- последняя »
