Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия. Задорожный В.Н - 341 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

40. Приведение уравнений поверхностей к каноническому виду 341
Интерес к таким поверхностям обусловлен тем, что «кривая» поверхность,
представляющая собой совокупность пря мых, может быть достаточно просто
реализована в технических приложениях. З десь мы рассмотрим линейчатые
поверхности второго порядка. К ним о тносятся уже рассмотренные цилиндры
и конусы 2-го порядка, простейшие примеры применения которых в строитель-
стве и технике приведены на рис. 196.
Рис. 196.
Помимо цилиндров и конусов 2-го порядка существуют еще две поверхно-
сти 2-го порядка, являющиеся линейчатыми: однополостный гиперболоид и ги-
перболический параболоид. Других линейчатых поверхностей 2-го порядка не
существует, в ч¨ем мы убедимся ниже. А сейчас рассмотрим однопололостный
гиперболоид
x
2
a
2
+
y
2
b
2
−
z
2
c
2
= 1. (40.87)
Его уравнение можно записать в виде
x
2
a
2
−
z
2
c
2
= 1 −
y
2
b
2
или
x
a
+
z
c

x
a
−
z
c
=
1 +
y
b

1 −
y
b
. (40.88)
Отсюда видно, что уравнение (40.8 8) и, следовательно, уравнение однополост-
ного гиперболоида (40.87) можно представить двумя системами 1-го порядка:
I.
u
x
a
+
z
c
= v
1 +
y
b
,
v
x
a
−
z
c
= u
1 −
y
b
или
u
a
x −
v
b
y +
u
c
z −v = 0,
v
a
x +
u
b
y −
v
c
z − u = 0,
~
N
1
=
u
a
, −
v
b
,
u
c
,
~
N
2
=
v
a
,
u
b
, −
v
c
;
II.
u
x
a
+
z
c
= v
1 −
y
b
,
v
x
a
−
z
c
= u
1 +
y
b
или
u
a
x +
v
b
y +
u
c
z −v = 0,
v
a
x −
u
b
y −
v
c
z −u = 0,
~
N
1
=
u
a
,
v
b
,
u
c
,
~
N
2
=
v
a
, −
u
b
, −
v
c
,
где u, v — произвольные вещественные числа, не обращ ающиеся в нуль одно-
временно, т.е. u
2
+ v
2
> 0.
Обратимся к системе I. Рассматривая здесь каждое уравнение как уравнение
плоскости с нормалями
~
N
1
,
~
N
2
, убедимся, что эти плоскости пересекаются. Для
этого вычислим вектор
~
S
I
= [
~
N
1
,
~
N
2
] = ~ı
v
2
−u
2
bc
+ ~
2uv
ac
+
~
k
u
2
+ v
2
ab
6= 0. (40.89)
Поско льку вектор (40.89) ни при каких u, v не обраща ется в нуль, о н является
направляющим вектором прямой пересечения l
I
этих плоскостей.

Страницы