ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
330 Глава 5. Поверхности и кривые в пространстве
L = (0 0 0). (40.31)
Для матриц (40.30) решаем задачу на собственные значения и собств енные век-
торы:
GE = λE
или
(G − λI)E =
6 − λ −2 2
−2 5 − λ 0
2 0 7 − λ
!
E = 0, E =
m
n
p
!
. (40.32)
Собственные значения λ находятся, как известно, из условия
det
6 −λ −2 2
−2 5 − λ 0
2 0 7 − λ
!
= λ
3
−18λ
2
+ 99λ − 162 = 0. (40.33)
Непосредственной подстановкой убеждаемся, что λ
1
= 3 является корнем урав-
нения (40.33). С уч¨етом этого уравнение (40.33) можно переписать в виде
(λ − 3)(λ
2
−15λ + 54) = 0.
Из квадратного уравнения найд¨ем λ
2
= 6 и λ
3
= 9. Подставив поочередно
λ
1
, λ
2
, λ
3
в систему (40.32), найд¨ем собственные векторы
E
1
= m
1
2
2
−1
!
, E
2
= m
2
−1
2
2
!
, E
3
= m
3
2
−1
2
!
.
Из условия нормировки E
⊺
i
E
i
= 1 определим m
1
= m
2
= m
3
= 1/
√
4 + 4 + 1 =
1/3. С уч¨етом этого получим ортонормированную систему собственных векто-
ров
E
1
=
1
3
2
2
−1
!
, E
2
=
1
3
−1
2
2
!
, E
3
=
1
3
2
−1
2
!
. (40.34)
По векторам (40.34) найд¨ем новый ортонормированный ба зис в системе коор-
динат x
′
Oy
′
:
~e
′
1
=
2
3
~e
1
+
2
3
~e
2
−
1
3
~e
3
, ~e
′
2
= −
1
3
~e
1
+
2
3
~e
2
+
2
3
~e
3
, ~e
′
3
=
2
3
~e
1
−
1
3
~e
2
+
2
3
~e
3
(40.35)
(здесь для удобства принято ~e
1
= ~ı, ~e
2
= ~, ~e
3
=
~
k) и матрицу перехода
P = (E
1
E
2
E
3
) =
1
3
2 −1 2
2 2 −1
−1 2 2
!
. (40.36)
В базисе (4 0.35) квадратичная форма уравнения поверхности примет вид
X
⊺
GX = (X
′
)
⊺
λ
1
0 0
0 λ
2
0
0 0 λ
3
!
X
′
= 3(x
′
)
2
+ 6(y
′
)
2
+ 9(z
′
)
2
(40.37)
и соответственно преобразования координат, с уч¨етом (40.36),
X =
x
y
z
!
= P X
′
= (E
1
E
2
E
3
)
x
′
y
′
z
′
!
=
1
3
2x
′
−y
′
+ 2z
′
2x
′
+ 2y
′
− z
′
−x
′
+ 2y
′
+ 2z
′
!
. (40.38)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 328
- 329
- 330
- 331
- 332
- …
- следующая ›
- последняя »
