ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3. Преобразование аффинных систем координат 41
а координаты точек, согласно (3.19), связаны соотношениями
x
y
z
!
=
x
0
y
0
z
0
!
+ I
x
′
y
′
z
′
!
=
x
′
+ x
0
y
′
+ y
0
z
′
+ z
0
!
. (3.27)
Преобразование пространства, при котором координаты вектора изменя-
ются по закону (3.27), называется параллельным переносом. Соотношение (3.27)
устанавливает взаимно однозначное соответствие между пара ллельным перено-
сом и вектором
−−→
OO
′
= (x
0
, y
0
, z
0
), позволяя рассматривать множество простран-
ственных векторов как множество соответствующих параллельных переносов.
Параллельный перенос (3.27), изменяя координаты точек, не изменяет ко-
ординаты свободных векторов.
Действительно, пусть точки M
1
и M
2
в системе координат Oxyz имеют ко-
ординаты M
1
(x
1
, y
1
, z
1
) и M
2
(x
2
, y
2
, z
2
), а в системе координат O
′
x
′
y
′
z
′
, соответ-
ственно, M
′
1
(x
′
1
, y
′
1
, z
′
1
) и M
′
2
(x
′
2
, y
′
2
, z
′
2
). Тогда координаты вектора
−−−−→
M
1
M
2
в этих
системах запишутся, соответственно, как
−−−−→
M
1
M
2
= (x
2
−x
1
)~e
1
+ (y
2
− y
1
)~e
2
+ (z
2
− z
1
)~e
3
,
−−−−→
M
1
M
2
= (x
′
2
−x
′
1
)~e
1
+ (y
′
2
− y
′
1
)~e
2
+ (z
′
2
− z
′
1
)~e
3
,
что с уч¨етом (3.27) для
−−−−→
M
1
M
2
в Oxyz приводит к выражению
−−−−→
M
1
M
2
= [(x
′
2
−x
0
) − (x
′
1
−x
0
)]~e
1
+ [(y
′
2
− y
0
) −(y
′
1
−y
0
)]~e
2
+
+ [(z
′
2
− z
0
) −(z
′
1
− z
0
)]~e
3
= (x
′
2
− x
′
1
)~e
1
+ (y
′
2
−y
′
1
)~e
2
+ (z
′
2
− z
′
1
)~e
3
,
откуда и следует равенство координат вектора
−−−−→
M
1
M
2
в обеих системах коорди-
нат.
Далее мы рассмотрим преобразования координатных систем, образованных
ортонормированными базисами. В этом случае важную роль играют ортого-
нальные матрицы перехода от одного б азиса к другому. Коротко напомним
определения и свойства ортогональных матриц (см. [8]).
3.4. Ортогональные матрицы
Квадратная матрица C называется орто го нальной, если транспонированная к
ней матрица совпадает с обратной, т.е. C
⊺
= C
−1
или, что то же самое, CC
⊺
= C
⊺
C =
I.
Пусть C = kc
lk
k — квадратная матрица n-го порядка, тогда из определения орто-
гональной матрицы следует
n
X
k=1
c
lk
c
mk
= δ
lm
=
1 l = m;
0, l 6= m;
l, m = 1, n. (3.28)
Нетрудно убедиться, что произведение двух ортогональных матриц также является
ортогональной матрицей. Действительно, пусть C
1
и C
2
— ортогональные матрицы,
следовательно,
C
1
C
⊺
1
= C
2
C
⊺
2
= I, (3.29)
но тогда для произведения справедливо
(C
1
C
2
)(C
1
C
2
)
⊺
= C
1
C
2
C
⊺
2
C
⊺
1
,
а с уч¨етом (3.29) —
(C
1
C
2
)(C
1
C
2
)
⊺
= C
1
IC
⊺
1
= C
1
C
⊺
1
= I, (3.30)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- …
- следующая ›
- последняя »
