ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3. Преобразование аффинных систем координат 43
Это позволяет записать векторы нового базиса через орты старого:
~ı
′
= ~ı cos ϕ + ~ sin ϕ,
~
′
= −~ı sin ϕ + ~ cos ϕ.
(3.39)
Вычисление модулей векторов ~ı
′
,~
′
из (3.39):
|~ı
′
| =
q
cos
2
ϕ + sin
2
ϕ = 1;
|~
′
| =
q
sin
2
ϕ + cos
2
ϕ = 1
показывает, что векторы ~ı
′
,~
′
являются единичными.
Из рис. 29,a, графически устанавливающего связь (3.39), посредством простых
геометрических построений находим, что векторы ~ı
′
и ~
′
пов¨ернуты относительно
векторов ~ı и ~ на один и тот же угол ϕ против часовой стрелки. Вследствие этого
векторы~ı
′
и ~
′
, как и векторы~ı и ~, являются ортогональными. Следовательно, новый
базис B
′
= (~ı
′
~
′
) также является ортонормированным, прич¨ем репер (O, B
′
= (~ı
′
~
′
))
получается из репера (O, B = (~ı ~)), по сути дела, простым поворотом на угол ϕ.
Другими словами, преобразование системы координат xOy с помощью ортого-
нальной матрицы C
+
приводит нас к новой прямоугольной системе координат x
′
Oy
′
,
начало которой совпадает с точкой O, а оси пов¨ернуты вокруг точки O на угол ϕ.
Координаты векторов в старой и новой системах координат связаны формулами
x
y
= C
+
(ϕ)
x
′
y
′
или
x = x
′
cos ϕ − y
′
sin ϕ,
y = x
′
sin ϕ + y
′
cos ϕ.
(3.40)
II. Выбор в (3.38) C
A
= C
−
(ϕ) да¨ет
(~ı
′
~
′
) = (~ı ~)C
−
(ϕ) = (~ı ~)
cos ϕ sin ϕ
sin ϕ −cos ϕ
= (~ı cos ϕ + ~ sin ϕ ~ı sin ϕ −~ cos ϕ).
Это позволяет записать векторы нового базиса через орты старого:
~ı
′
= ~ı cos ϕ + ~ sin ϕ,
~
′
= ~ı sin ϕ −~ cos ϕ.
(3.41)
Как и в предыдущем случае, вычисление модулей:
|~ı
′
| =
q
cos
2
ϕ + sin
2
ϕ = 1;
|~
′
| =
q
sin
2
ϕ + cos
2
ϕ = 1
Рис. 29.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- …
- следующая ›
- последняя »
