ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
44 Глава 1. Векторная алгебра
показывает, что векторы ~ı
′
,~
′
являются единичными.
Из рис. 29,б, графически устанавливающего связь (3.41), посредством простых
геометрических построений находим, что базис B
′
= (~ı
′
~
′
), как и в предыдущем слу-
чае, является ортонормированным. Отличие в данном случае состоит в том, что репер
(O, B
′
= (~ı
′
~
′
)) получается из репера (O, B = (~ı ~)) поворотом на угол ϕ с последую-
щим зеркальным отражением базисного вектора ~
′
относительно базисного вектора
~ı
′
.
Таким образом, преобразование системы координат xOy с помощью ортогональ-
ной матрицы C
−
(ϕ) приводит нас к новой прямоугольной системе координат x
′
Oy
′
,
начало которой совпадает с точкой O, а оси которой пов¨ернуты относительно O? на
угол ϕ с последующим зеркальным отражением оси Oy относительно оси Ox. Коор-
динаты векторов относительно этих систем, согласно (3.12), связаны формулами
x
y
= C
−
(ϕ)
x
′
y
′
или
x = x
′
cos ϕ + y
′
sin ϕ,
y = x
′
sin ϕ −y
′
cos ϕ.
(3.42)
В обоих случаях вращением в положительном направлении является вращение на
угол ϕ от оси Ox к оси Oy против часовой стрелки.
Рассуждая в обратном порядке, мы можем убедиться в справедливости следую-
щего утверждения.
Если (O, B
′
= (~ı
′
~
′
)) и (O, B
′
= (~ı ~)) — ортонормированные реперы двух прямо-
угольных систем координат x
′
Oy
′
и xOy, базисы которых связаны матрицей C, то эта
матрица ортогональна. Будет эта матрица матрицей C
+
или C
−
, зависит от выбора
направления (ориентации) координатных осей новой системы координат.
Поскольку параллельный перенос системы координат не меняет ее базиса, можно
утверждать следующее.
Если равенство
x
y
= C
x
′
y
′
+
x
0
y
0
(3.43)
задает переход от прямоугольной системы координат xOy к прямоугольной системе
координат x
′
O
′
y
′
, то матрица C ортогональна. Наоборот, если система координат xOy
прямоугольна и матрица C ортогональна, то система координат x
′
O
′
y
′
также прямо-
угольна.
♦ Это утверждение справедливо и для трехмерного пространства:
x
y
z
!
= C
x
′
y
′
z
′
!
+
x
0
y
0
z
0
!
. (3.44)
Его доказательство мы привед¨ем позднее, сформулировав понятие скалярного произ-
ведения векторов.
Пример 3.2. Выписать явный вид матриц C
A
, соответствующих повороту на угол
ϕ = 0, и с их помощью найти связь между C
+
(ϕ) и C
−
(ϕ).
Решение. Согласно (3.31) и (3.32), имеем
C
+
(0) =
1 0
0 1
= I, C
−
(0) =
1 0
0 −1
, (3.45)
Подставив (3.45) в (3.3), найд¨ем
~ı
′
~
′
+
= C
⊺
+
(0)
~ı
~
=
~ı
~
,
~ı
′
~
′
−
= C
⊺
−
(0)
~ı
~
=
~ı
−~
.
(3.46)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- …
- следующая ›
- последняя »
