Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия. Задорожный В.Н - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

46 Глава 1. Векторная алгебра
Теорема 3.1. Два базиса B = (~e
1
~e
2
~e
3
) и B
′
= (~e
′
1
~e
′
2
~e
′
3
), различающиеся третьим
вектором, одноим¨енны тогда и только тогда, когда пр
~e
3
~e
′
3
> 0.
Доказательство. Пусть вектор ~e
′
3
в базисе B = (~e
1
~e
2
~e
3
) имеет координаты x
′
, y
′
, z
′
.
Тогда матрица
C =
1 0 x
′
0 1 y
′
0 0 z
′
!
является матрицей перехода от базиса B к базису B
′
с определителем det C = z
′
.
А поскольку z
′
= пр
~e
3
~e
′
3
, то det C = z
′
= пр
~e
3
~e
′
3
> 0 тогда и только тогда, когда
пр
~e
3
~e
′
3
> 0.
Следствие 3.1.1. Базисы, получающиеся друг из друга перестановкой пары векто-
ров, а также изменением одного из векторов на противоположный, разноим¨енны.
Справедливость этого утверждения следует из того, что при перестановке пары строк
или умножении строки на (−1) определитель матрицы меняет знак.
Пример 3.3. Пусть базис B = (~e
1
~e
2
~e
3
) определяет правую ориентацию простран-
ства (~e
1
, ~e
2
, ~e
3
— правая тройка векторов). Определить ориентацию пространства с
базисами B
1
= (~e
3
~e
1
~e
2
), B
2
= (−~e
3
~e
1
~e
2
), B
3
= (−~e
1
~e
2
~e
3
), B
4
= (−~e
1
~e
3
~e
2
).
Решение. Базис B
1
получается из базиса B двойной перестановкой пары векторов:
(~e
1
~e
2
~e
3
) → (~e
1
~e
3
~e
2
) → (~e
3
~e
1
~e
2
). Поскольку ч¨етное число перестановок не меняет
ориентации, то базис B
1
является одноим¨енным с базисом B, т.е. правым. Базис B
2
получается из B
1
изменением знака одного из базисных векторов, вследствие чего
он является разноим¨енным с B
1
, т.е. левым. Базис B
3
получается из B изменением
знака одного из базисных векторов, вследствие чего является разноим¨енным с ним,
т.е. левым. Базис B
4
получается из B изменением знака одного из базисных векторов и
одной перестановкой: (~e
1
~e
2
~e
3
) → (−~e
1
~e
2
~e
3
) → (−~e
1
~e
3
~e
2
). Следовательно, базис B
4
является одноим¨енным с B, т.е. правым. Этот же результат мы получим из сравнения
B
4
с B
3
. Базис B
4
отличается от левого B
3
одной перестановкой пары векторов и,
следовательно, является с ним разноим¨енным, т.е. правым.
Одноим¨енные базисы обладают еще одним замечательным свойством, важным для
приложений векторного исчисления. Для его формулировки нам потребуется понятие
непрерывной деформации.
Будем говорить, что базис B = (~e
1
~e
2
~e
3
) переходит в базис B
′
= (~e
′
1
~e
′
2
~e
′
3
)
посредством непрерывной деформации, если для каждого значения t, принадлежащего
некоторому отрезку [a, b], задан базис
B(t) = (~e
1
(t) ~e
2
(t) ~e
3
(t)) = BC(t) (3.49)
так, что все координаты — элементы матрицы C(t) = kc
lm
k — являются непрерыв-
ными функциями от t на отрезке [a, b], прич¨ем B = B(t)|
t=a
и B
′
= B(t)|
t=b
. Другими
словами, базисы B и B
′
представляют собой значения базиса B(t) на концах отрезка
[a, b].
Последнее требование применительно к самой матрице C(t), согласно (3.49), имеет
вид
C(t)|
t=a
= I, B
′
= BC(t)|
t=a
= B,
C(t)|
t=b
= C(b), B
′
= BC(b).
(3.50)
Из определения непрерывной деформации вытекают два очевидных е¨е свойства.
Свойство 1. Если базис B переходит в базис B
′
посредством непрерывной деформа-
ции a 6 t 6 b, то и базис B
′
переходит в базис B посредством непрерывной деформа-
ции.

Страницы