Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия. Задорожный В.Н - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

48 Глава 1. Векторная алгебра
однонаправлены. Такая задача является обратной к задаче, рассмотренной в первой
части, и е¨е доказательство обратно доказательству первой части.
Доказательство для пространственного случая проводится аналогичным образом.
Следует лишь учитывать, что каждая часть доказательства будет использовать два
последовательных преобразования. Покажем это на примере первой части.
Пусть (O, ~e
1
, ~e
2
, ~e
3
) и (O, ~e
′
1
, ~e
′
2
, ~e
′
3
) — два одноим¨енных репера. В плоскости O~e
1
~e
2
провед¨ем те же построения, как и в плоском случае. В результате получим репер
(O,~,~, ~e
2
). Повторив соответствующие преобразования в отношении вектора ~e
3
, прид¨ем
к ортонормированному реперу (O,~ı,~,
~
k). Далее действуем по изложенной выше схеме.
В заключение отметим, что для, например, линейных и некоторых других опе-
раций над векторами ориентация пространства значения не имеет. Однако для пре-
образований систем координат и нелинейных операций над векторами это понятие
имеет очень важное значение. В связи с этим определение угла между векторами мы
дополним определением угла от вектора до вектора.
Пусть на ориентированной плоскости выбран положительный ортонормированный
базис B = (~e
1
, ~e
2
) и задана упорядоченная пара неколлинеарных векторов ~a
1
и ~a
2
.
Рис. 32. ϕ = ∠(~a
1
7→ ~a
2
) > 0 (a); ϕ = ∠(~a
1
7→ ~a
2
) < 0 (б)
Углом от вектора ~a
1
до вектора ~a
2
называется у гол между векторами ~a
1
и
~a
2
, взятый со знаком «плюс», если пара векторов ~a
1
, ~a
2
положительна, и со знаком
«минус» в противном случае (рис. 32). Определ¨енный таким образом угол будем обо-
значать ∠ (~a
1
7→ ~a
2
).
Является ли упорядоченная пара ~a
1
и ~a
2
векторов положительной или отрицатель-
ной, можно установить с помощью координат этих векторов. Пусть векторы ~a
1
и ~a
2
в ортонормированном базисе имеют координаты ~a
1
= (x
1
, y
1
) и ~a
2
= (x
2
, y
2
) (рис. 33)
Паре векторов ~a
1
и ~a
2
поставим в соответствие матрицу
S =
x
1
y
1
x
2
y
2
, (3.51)
определитель которой имеет простой геометрический смысл.
Действительно, координаты векторов можно записать в виде
x
1
= |~a
1
|cos ϕ
1
, y
1
= |~a
1
|sin ϕ
1
; x
2
= |~a
2
|cos ϕ
2
, y
2
= |~a
2
|sin ϕ
2
. (3.52)
Тогда
det S =
x
1
y
1
x
2
y
2
= |~a
1
||~a
2
|(cos ϕ
1
sin ϕ
2
−sin ϕ
1
cos ϕ
2
) =
= |~a
1
||~a
2
|sin(ϕ
2
− ϕ
1
) =
S
пар
> 0, ϕ = ϕ
2
− ϕ
1
> 0;
−S
пар
< 0, ϕ = ϕ
2
− ϕ
1
< 0,
(3.53)
Рис. 33.

Страницы