ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3. Преобразование аффинных систем координат 47
Действительно, чтобы получить обратное преобразование, достаточно положить t
′
=
(a + b) − t и ~e
⊺
i
(t) = ~e
i
(t), i = 1, 2, 3.
Свойство 2. Если базис B переходит в базис B
′
посредством непрерывной деформа-
ции a 6 t 6 b, а базис B
′
переходит в базис B
′′
посредством последующей непрерывной
деформации b 6 t 6 c, то и базис B переходит в базис B
′′
посредством непрерывной
деформации a 6 t 6 c.
Теорема 3.2. Базис B = (~e
1
~e
2
~e
3
) переходит в базис B
′
= (~e
′
1
~e
′
2
~e
′
3
) посредством
непрерывной деформации тогда и только тогда, когда оба базиса одноим¨енны.
Доказательство. I. Необходимость. Пусть C(t) — матрица перехода от B к B(t) =
BC(t). Нужно доказать, что числа det C(a) и det C(b) имеют один знак. Но det C(t),
будучи полиномом от своих элементов c
11
(t), c
12
(t), . . . , являющихся непрерывными
функциями от t, есть непрерывная функция от t на вс¨ем отрезке [a, b]. Если бы е¨е
значения на концах этого отрезка имели разные знаки, то су ществовало бы промежу-
точное значение t
0
, a < t
0
< b, для которого det C(t
0
) = 0. Но этого не может быть, так
как det C(t
0
) как определитель матрицы перехода от базиса B к базису B(t
0
) всегда
отличен от нуля.
II. Достаточность. Рассмотрим сначала переход одного базиса на плоскости в
другой. Два двумерных одноим¨енных базиса B = (~e
1
~e
2
) и B
′
= (~e
′
1
~e
′
2
) выбором точ-
ки O доопределим до двух одноим¨енных реперов (O, B) и (O, B
′
). Далее доказатель-
ство разобь¨ем на три части. В первой части докажем, что репер (O, B) непрерывной
трансформацией можно перевести в одноим¨енный ортонормированный репер (O,~ı,~),
у которого направление вектора ~ı совпадает с направлением вектора ~e
1
. Во второй
части мы воспользуемся ортогональным преобразованием, позволяющим любой ор-
тогональный репер повернуть на угол ϕтак, чтобы репер (O,~ı, ~) переш¨ел в репер
(O,~ı
′
,~
′
), у которого направление вектора ~ı
′
совпадает с направлением вектора ~e
′
1
.
В третьей части ортонормированный репер (O,~ı
′
,~
′
) переводится в заданный репер
(O, ~e
′
1
~e
′
2
).
Рис. 31.
Докажем первую часть теоремы. Для этого из точки O в направлении вектора
~e
1
отложим единичный вектор ~ı, а затем ортогональный ему единичный вектор ~
так, чтобы полученный репер (O,~ı, ~) был одноим¨енным с репером (O, B = (~e
1
~e
2
))
(рис. 31,a). Через ε
1
(t) и ε
2
(t) обозначим точки, лежащие на направленных отрезках
−−→
ε
1
E
1
,
−−→
ε
2
E
2
и делящие их в отношении λ = t/(1 − t). Точки ε
1
(t) и ε
2
(t) при t = 0
(λ = 0) совпадают с точками ε
1
и ε
2
, а при t = 1 (λ = ∞) — с точками E
1
и E
2
,
соответственно. Для векторов ~e
1
(t) =
−→
ε
1
ε
1
(t) и ~e
2
(t) =
−→
ε
2
ε
2
(t) это означает, что ~e
1
(0) =
~e
1
, ~e
2
(0) = ~e
2
и ~e
1
(1) = ~ı, ~e
2
(1) = ~. Принимая во внимание, что ~e
1
(t) и ~e
2
(t) при любом
t неколлинеарны, т.е. образуют базис B(t) = (~e
1
(t),~e
2
(t)), непрерывно изменяющийся
при изменении t от 0 до 1 и осуществляющий непрерывную деформацию от базиса
B = B(0) = (~e
1
(t),~e
2
(t)) к базису B(1) = (~ı,~). Первая часть теоремы доказана.
Во второй части, как было уже указано, воспользуемся свойством ортогональных
преобразований. Действительно, ортонормированный репер (O,~ı,~) с помощью орто-
нормированной матрицы C
+
можно непрерывной деформацией, а именно поворотом
на угол ϕ, перевести в ортонормированный репер (O,~ı
′
,~
′
), вектор ~ı
′
которого бу-
дет направлен по вектору ~e
′
1
репера (O, B
′
= (~e
′
1
, εe
′
2
)). Теперь осталась третья часть
доказательства: непрерывной деформацией ортонормированного репера (O,~ı
′
,~
′
) пе-
ревести его в заданный репер (O, B
′
= (~e
′
1
, εe
′
2
)) с уч¨етом того, что векторы ~ı
′
и ~e
′
1
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- …
- следующая ›
- последняя »
