ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3. Преобразование аффинных систем координат 49
где S
пар
— площадь параллелограмма, построенного на векторах ~a
1
и ~a
2
(рис. 33).
Таким образом, d et S равен площади параллелограмма для положительной пары
векторов ~a
1
, ~a
2
и площади параллелограмма со знаком минус в противном случае. От-
сюда следует, что знак det S я вляется индикатором ориентации упорядоченной пары
векторов ~a
1
, ~a
2
.
Величина
det S =
x
1
y
1
x
2
y
2
для упорядоченной пары векторов ~a
1
, ~a
2
называется их ор иентированной площадью.
С помощью ориентированной площади параллелограмма, построенного на векто-
рах ~a
1
и ~a
2
, исходя из (3.53), можно не только выяснить их ориентацию, но и найти
угол от вектора ~a
1
до вектора ~a
2
:
sin[∠(~a
1
7→~a
2
)] =
det S
|~a
1
||~a
2
|
=
x
1
y
2
− x
2
y
1
p
(x
2
1
+ y
2
1
)(x
2
2
+ y
2
2
)
. (3.54)
Пример 3.4. Для векторов ~a
1
= (
√
3, 1), ~a
2
= (2, 2
√
3), заданных в декартовой си-
стеме координат, найти площадь параллелограмма, построенного на этих векторах и
угол от вектора ~a
1
до вектора ~a
2
.
Решение. Для заданных векторов матрица S имеет вид
S =
√
3 1
2 2
√
3
.
Тогда
det S =
√
3 1
2 2
√
3
= 4 > 0.
Это означает, что S
пар
= 4, а их ориентация положительна, прич¨ем
sin[∠(~a
1
7→ ~a
2
)] =
det S
|~a
1
||~a
2
|
=
4
2 · 4
=
1
2
,
т.е. ∠(~a
1
7→~a
2
) = 30
◦
.
Пример 3.5. Доказать, что при общем преобразовании (с переносом и поворотом
осей) прежние оси могут быть совмещены с новыми пут¨ем поворота всей плоскости
вокруг некоторой точки.
Решение. Пусть равенство
x
y
= C
+
(ϕ)
x
′
y
′
+
x
0
y
0
(3.55)
зада¨ет переход от прямоугольной системы координат xOy к прямоугольной системе
координат x
′
O
′
y
′
, осуществляемый параллельным переносом на вектор
−−→
OO
′
= (x
0
, y
0
)
и поворотом базиса B = (~ı,~) на угол ϕ с помощью ортогональной матрицы C
+
(ϕ).
Предположим, что точка M(x, y) в обеих системах имеет одни и те же координаты,
т.е. x
′
= x, y
′
= y. В силу этого (3.55) примет вид
x
y
= C
+
(ϕ)
x
y
+
x
0
y
0
,
откуда
[I − C
+
(ϕ)]
x
y
=
x
0
y
0
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- …
- следующая ›
- последняя »
