ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
50 Глава 1. Векторная алгебра
и, следовательно,
x
y
= [I − C
+
(ϕ)]
−1
x
0
y
0
. (3.56)
Формула (3.56) зада¨ет координаты точки M, которые не изменяются при преоб-
разовании (3.55). Следовательно, два последовательных преобразования, а именно:
параллельный перенос на вектор
−−→
OO
′
= (x
0
, y
0
) и последующий поворот исходного
базиса на угол ϕ, осуществляемый ортогональной матрицей C
+
(ϕ), можно заменить
одним преобразованием: поворотом всей плоскости на угол ϕ относительно точки M.
В отсутствие параллельного переноса, т.е. когда x
0
= y
0
= 0, точка M совпадает с
точкой O(0, 0) — началом координат xOy.
♦ Если упорядоченной паре чисел (x, y) сопоставить комплексное число z = x+iy,
то возникает следующая аналогия. Поскольку комплексное число z = x + iy изобра-
жается точкой (вектором) на плоскости xOy, то линейное отображение
w = az + b, a = |a|e
iϕ
, (3.57)
зада¨ет параллельный перенос начала координат (точки O) на вектор, соответствую-
щий комплексному числу b = x
0
+ iy
0
, с последующим поворотом координатных осей
на угол ϕ и преобразованием подобия с коэффициентом |a|. При |a| = 1 осуществля-
ются только параллельный перенос и поворот аналогично преобразованию (3.55) (см.,
например, [7]).
Из формулы (3.57) очень легко найти координаты неподвижной точки. Действи-
тельно, положив в (3.57) w = z, получим формулу
z =
b
1 − a
, |a| = 1, (3.58)
эквивалентную формуле (3.56).
Пример 3.6. Начало новой системы координат находится в точке (1, −2). Новая ось
ординат составляет с прежней осью абсцисс острый угол, тангенс которого равен 3/4.
Найти точку, прежние координаты которой равны новым.
Рис. 34.
Решение. Согласно результатам предыдущей зада-
чи, координаты этой точки определяются формулой
(3.56), где x
0
= 1, y
0
= −2. Чтобы найти угол пово-
рота координатных осей, учт¨ем, что угол между ста-
рой осью абсцисс и новой осью ординат равен ψ =
arctg 3/4. Это означает, что угол от старой оси ординат
к новой равен ϕ = −arctg 4/3 (рис. 34). По найденному
углу вычислим
sin ϕ = −sin arctg
4
3
= −
4
√
3
2
+ 4
2
= −
4
5
,
cos ϕ = cos arctg
4
3
=
3
5
.
Подставив эти значения в матрицу
C
+
(ϕ) =
cos ϕ −sin ϕ
sin ϕ cos ϕ
,
получим
C
+
=
3/5 4/5
−4/5 3/5
,
откуда
I − C
+
=
1 0
0 1
−
3/5 4/5
−4/5 3/5
=
2/5 −4/5
4/5 2/5
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 48
- 49
- 50
- 51
- 52
- …
- следующая ›
- последняя »
