Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия. Задорожный В.Н - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

52 Глава 1. Векторная алгебра
Аналогично направленный отрезок между концами векторов ~e
2
и ~ концом вектора ~e
2
(t) разделим в том же отношении λ =
t/(1 − t), т.е.
~e
2
(t) −~e
2
= λ[~ −~e
2
(t)],
откуда
~e
2
(t) =
~e
2
+ λ~
1 + λ
=
−~ı + 3~ + [t/(1 − t)]~
1 + t/(1 − t)
= −(1 − t)~ı + (3 − 2t)~. (3.62)
Приняв во внимание (3.61), (3.62), получим
~e
1
(t)
~e
2
(t)
= C(t)
~ı
~
=
(1 + t)/2 0
−(1 − t) 3 − 2t
~ı
~
. (3.63)
Поскольку
det C(t) =
1
2
(1 + t)(3 − 2t) > 0 ∀ t ∈]0, 1[,
то матрица
C(t) =
(1 + t)/2 0
−(1 − t) 3 − 2t
(3.64)
является матрицей непрерывной деформации, прич¨ем
C(0) =
1/2 0
−1 3
,
C(1) =
1 0
0 1
.
Это означает, что базис
~e
1
(0)
~e
2
(0)
= C(0)
~ı
~
=
~ı/2
−~ı + 3~
совпадает с базисом B
′
= (~e
1
, ~e
2
), а базис
~e
1
(1)
~e
2
(1)
= C(1)
~ı
~
=
~ı
~
совпадает с базисом B = (~ı,~).
Таким образом, матрица непрерывной деформации (3.64) позволяет по заданному
произвольному базису построить ортонормированный базис. Ниже мы рассмотрим
еще один способ построения ортонормированных базисов — метод ортогонализации
Грама–Шмидта.
♦ При t = 1/2 найд¨ем
~e
1
(1/2)
~e
2
(1/2)
=
3/4 0
−1/2 2
~ı
~
=
3~ı/2
−~ı/2 + 2~
.
Пример 3.9. Может ли матрица
C(t) =
1 − t
2
t
t t
2
определять непрерывную деформацию от одного базиса к другому?
Решение. Поскольку det C(t) = (1 −t
2
)t
2
−t
2
= −t
4
< 0 для любых t, то результатом
преобразования с помощью этой матрицы будет базис, разноим¨енный с исходным, что
говорит о невозможности с е¨е помощью осуществить непрерывную деформацию.

Страницы