ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
54 Глава 1. Векторная алгебра
5) частные случаи
~a ·
~
b = 0
только при условии ~a ⊥
~
b или если один из сомножителей является нулевым
вектором;
~a
2
= |~a|
2
= 0
только при условии ~a = 0.
Если ~ı,~,
~
k — орты декартов а базиса, то их скалярные произведения удовле-
творяют равенствам
~ı ·~ı = ~ ·~ =
~
k ·
~
k = 1, ~ı ·~ = ~ı ·
~
k = ~ ·
~
k = 0. (4.8)
Теорема 4.1 (о координатной форме скалярного произведения). Если
векторы ~a и
~
b заданы своими координатами в декартовом базисе ~a = (a
1
, a
2
, a
3
)
и
~
b = (b
1
, b
2
, b
3
), то
(~a,
~
b) = ~a ·
~
b = a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ a
3
b
3
. (4.9)
Доказательство. По определению
~a = a
1
~ı + a
2
~ + a
3
~
k,
~
b = b
1
~ı + b
2
~ + b
3
~
k.
Используя свойства скалярного произведения, с уч¨етом (4.8) будем иметь
~a ·
~
b = (a
1
~ı + a
2
~ + a
3
~
k)(b
1
~ı + b
2
~ + b
3
~
k) =
= a
1
b
1
(~ı ·~ı) + a
1
b
1
(~ı ·~) + a
1
b
3
(~ı ·
~
k) +
+a
2
b
1
(~ ·~ı) + a
2
b
2
(~ ·~) + a
2
b
3
(~ ·
~
k) +
+a
3
b
1
(
~
k ·~ı) + a
3
b
2
(
~
k ·~) + a
3
b
3
(
~
k ·
~
k) =
= a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ a
3
b
3
,
что и требовалось доказать.
Следствие 4.1.1. Координаты вектора ~a = (a
1
, a
2
, a
3
) определяются скаляр-
ными произведениями
a
1
= ~a ·~ı, a
2
= ~a ·~, a
3
= ~a ·
~
k. (4.10)
Пример 4.1. Найти скалярное произведение векторов ~a = (2, −1, 1) и
~
b =
(3, −2, −1).
Решение. Здесь x
1
= 2, y
1
= −1, z
1
= 1; x
2
= 3, y
2
= −2, z
2
= −1.
Согласно (4.9), имеем
~a ·
~
b = 2 ·3 + (−1)(−2) + 1(−1) = 7.
Пример 4.2. Даны два вектора: ~a = 2~ı − ~ +
~
k и
~
b = ~ı − 2~ + 3
~
k (короче их
можно записать как ~a = (2, −1, 1),
~
b = (1, −2, 3)). Найт и проекцию в ектора ~a на
направление вектора
~
b.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- …
- следующая ›
- последняя »
