ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
56 Глава 1. Векторная алгебра
Решение. По точкам A, B, C построим векторы
−→
AB и
−→
AC.
Угол ϕ есть угол между вектором
−→
AB, проекции (координаты) которого есть
−→
AB = (2 −1)~ı + (2 −1)~ + (1 −1)
~
k или
−→
AB = (1; 1; 0), и вектором
−→
AC, проекции
(координаты) которого есть
−→
AC = (2−1)~ı + (1 −1)~+ (2 −1)
~
k или
−→
AC = (1; 0; 1).
Находим
|
−→
AB| = AB =
√
1
2
+ 1
2
+ 0
2
=
√
2,
|
−→
AC| = AC =
√
1
2
+ 0
2
+ 1
2
=
√
2.
По формуле (4.12) найд¨ем
cos ϕ =
−→
AB ·
−→
AC
AB ·AC
=
1 · 1 + 1 · 0 + 0 · 1
√
2
√
2
=
1
2
и угол ϕ = 60
◦
.
Скалярное произведение векторов часто используется в различных прило-
жениях. Рассмотрим одно из них — работу постоянной силы.
Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из точки A в точку
B под действием постоянной силы
~
F , образующей угол ϕ с вектором перемеще-
ния
−→
AB =
~
S. Из курса физики известно, что работа силы
~
F при перемещении
~
S равна
A = |
~
F ||
~
S|cos ϕ.
Это означает, что работа постоянной силы
~
F при прямолинейном перемещении
~
S точки ее приложения равна скалярному произведению
A =
~
F ·
~
S.
В заключение рассмотрим возможность в ведения опера-
Рис. 36.
ции, обратной скалярному произведению векторов, т.е. опе-
рации «деления ска ляра на вектор». Пусть известны вектор
~
b и скалярное произведение (~a,
~
b) и требуется определить
вектор ~a. Поместим начало векторов ~a и
~
b в одну точку O
и через конец вектора
~
b провед¨ем плоскость P , перпенди-
кулярную ~a. Плоскость P пересеч¨ет луч с началом в точке
O, на котором лежит вектор ~a, в точке A (рис. 36), и мы
получим отрезок OA.
Согласно определению ска лярного произведения, с одной стороны,
~a ·
~
b = a пр
~a
~
b = a · |OA|.
С другой стороны, для любого другого вектора
~
b
1
с началом в точке O и концом
на плоскости P аналогично имеем
~a ·
~
b
1
= a пр
~a
~
b
1
= a · |OA| = ~a ·
~
b.
♦ Таким образом, если известно скалярное произведение двух векторов и
известен один из сомножителей, то существует бесконечное множество векто-
ров, которые при умножении на данный сомножитель дадут заданное скаляр-
ное произведение. Отсюда следует, что операция, обратная скалярному произ-
ведению векторов («деление скаляра на вектор») возможна, но в силу своей
неоднозначности я вляется невостребованной и не получила практического при-
менения.
♦ Отбросив третье слагаемое в формулах (4.11), (4.12), (4.13), получим со-
ответствующие выражения для векторов на плоскости.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- …
- следующая ›
- последняя »
