ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
4. Произведение двух векторов 57
4.2. Скалярное произведение в косоугольном базисе
В некоторых приложениях векторного исчисления сама постановка задачи
диктует использование так называемой косоугольной системы координат вме-
сто декартовой.
Пусть (O, B = (~e
1
, ~e
2
, ~e
3
)) — некоторый репер пространства, тогда два любых
вектора задаются своими координатами в его базисе B:
~a = a
1
~e
1
+ a
2
~e
2
+ a
3
~e
3
,
~
b = b
1
~e
1
+ b
2
~e
2
+ b
3
~e
3
.
Скалярное произведение этих векторов в силу свойства линейности можно
записать в виде суммы
~a ·
~
b = (a
1
~e
1
+ a
2
~e
2
+ a
3
~e
3
)(b
1
~e
1
+ b
2
~e
2
+ b
3
~e
3
) =
= a
1
[b
1
~e
1
·~e
1
+ b
2
~e
1
·~e
2
+ b
3
~e
1
·~e
3
]+
+ a
2
[b
1
~e
2
·~e
1
+ b
2
~e
2
·~e
2
+ b
3
~e
2
·~e
3
]+
+ a
3
[b
1
~e
3
·~e
1
+ b
2
~e
3
·~e
2
+ b
3
~e
3
·~e
3
],
кото рую ещ¨е можно записать как произведение матриц:
~a ·
~
b = (a
1
a
2
a
3
)G
b
1
b
2
b
3
!
, (4.14)
где
G = G(~e
1
, ~e
2
, ~e
3
) =
~e
1
·~e
1
~e
1
·~e
2
~e
1
·~e
3
~e
2
·~e
1
~e
2
·~e
2
~e
2
·~e
3
~e
3
·~e
1
~e
3
·~e
2
~e
3
·~e
3
!
= B
⊺
B = kg
mn
k. (4.15)
Матрица (4.15) называется матрицей Грама, элементы g
mn
= ~e
m
· ~e
n
— метрическими коэффициентами базиса B = (~e
1
, ~e
2
, ~e
3
), а е¨е определитель
det G = Γ = Γ(~e
1
, ~e
2
, ~e
3
) — определителем Грама.
Очевидно, чт о в силу коммутативности скалярного произведения (g
mn
=
g
nm
) матрица Грама является симметричной, т.е.
G
⊺
= G.
Система координат называется косоугольной, если матрица Грама е¨е ба-
зиса не является диагональной.
Равенства
|~a| =
√
~a ·~a, cos ϕ =
~a ·
~
b
|~a||
~
b|
, ϕ = ∠(~a,
~
b), (4.16)
вытекающие из определения скалярного произведения, с помощью метрических
коэффициентов можно записать в виде
|~a| =
v
u
u
t
3
X
n=1
3
X
m=1
a
n
g
nm
a
m
,
cos[∠(~a,
~
b)] =
3
X
n=1
3
X
m=1
a
n
g
nm
b
m
3
X
n=1
3
X
m=1
a
n
g
nm
a
m
−1/2
3
X
n=1
3
X
m=1
b
n
g
nm
b
m
−1/2
.
(4.17)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- …
- следующая ›
- последняя »
