ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
4. Произведение двух векторов 59
то проекции вектора ~a на координатные о си определятся как
пр
~e
1
~a =
~a ·~e
1
|~e
1
|
= (a
1
g
11
+ a
2
g
21
+ a
3
g
31
)g
−1/2
11
,
пр
~e
2
~a =
~a ·~e
2
|~e
2
|
= (a
1
g
12
+ a
2
g
22
+ a
3
g
32
)g
−1/2
22
, (4.25)
пр
~e
3
~a =
~a ·~e
3
|~e
3
|
= (a
1
g
13
+ a
2
g
23
+ a
3
g
33
)g
−1/2
33
.
Пример 4.4. Косоугольная система координат Ox
1
x
2
x
3
задается репером
(O, B = (~e
1
~e
2
~e
3
), базис которого характеризуется метрическими коэффици-
ентами, составляющими матрицу Грама
G(~e
1
, ~e
2
, ~e
3
) =
4
√
3 4
√
2
√
3 3 6
4
√
2 6 10
.
Найти длины базисных векторов и угол между ними.
Решение. Д лины базисных векторов находят ся из диагональных метрических
коэффициентов:
|~e
1
| =
√
~e
1
·~e
1
=
√
g
11
= 2, |~e
2
| =
√
~e
2
·~e
2
=
√
g
22
=
√
3,
|~e
3
| =
√
~e
3
·~e
3
=
√
g
33
= 4.
Далее
cos[∠(~e
1
, ~e
2
)] =
~e
1
·~e
2
|~e
1
||~e
2
|
=
g
12
√
g
11
g
22
=
√
3
√
4 ·3
=
1
2
, ∠(~e
1
, ~e
2
) =
π
3
;
cos[∠(~e
1
, ~e
3
)] =
~e
1
·~e
3
|~e
1
||~e
3
|
=
g
13
√
g
11
g
33
=
4
√
2
2
=
√
2
2
, ∠(~e
1
, ~e
3
) =
π
4
;
cos[∠(~e
2
, ~e
3
)] =
~e
2
·~e
3
|~e
2
||~e
3
|
=
g
23
√
g
11
g
33
=
6
√
3 ·16
=
√
3
2
, ∠(~e
2
, ~e
3
) =
π
6
.
Пример 4.5. В ко соугольной системе координат заданы два вектора:
~a = 2~e
1
+ ~e
2
+ ~e
3
,
~
b = ~e
1
+ 2~e
2
+ ~e
3
.
Базисные векторы ~e
1
, ~e
2
, ~e
2
имеют длину |~e
1
| = 2, |~e
2
| = 1, |~e
3
| = 2 и образуют
друг с другом углы, равные π/3. Найти угол между векторами ~a и
~
b и проекцию
вектора ~a на вектор
~
b.
Решение. Для удобства вычислений выпишем матрицу Грама базисных век-
торов:
G =
~e
1
·~e
1
~e
1
·~e
2
~e
1
·~e
3
~e
2
·~e
1
~e
2
·~e
2
~e
2
·~e
3
~e
3
·~e
1
~e
3
·~e
2
~e
3
·~e
3
!
=
4 1 2
1 1 1
2 1 4
!
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- …
- следующая ›
- последняя »
