Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия. Задорожный В.Н - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

4. Произведение двух векторов 61
~e
2
=
~
f
2
+ α
21
~
f
1
, (4.29)
~e
3
=
~
f
3
+ α
32
~
f
2
+ α
31
~
f
1
и потребуем их попарной ортогональности, т.е.
~e
1
·~e
2
= ~e
1
·~e
3
= ~e
2
·~e
3
= 0.
Выписав три скалярных произведения и приравняв их к нулю, получим
~
f
1
· (
~
f
2
+ α
21
~
f
1
) = 0;
~
f
1
· (
~
f
3
+ α
32
~
f
2
+ α
31
~
f
1
) = 0;
(
~
f
2
+ α
21
~
f
1
) · (
~
f
3
+ α
32
~
f
2
+ α
31
~
f
1
) =
=
~
f
2
· (
~
f
3
+ α
32
~
f
2
+ α
31
~
f
1
) + α
21
~
f
1
· (
~
f
3
+ α
32
~
f
2
+ α
31
~
f
1
) =
=
~
f
2
· (
~
f
3
+ α
32
~
f
2
+ α
31
~
f
1
) + 0 = 0.
Положив для удобства
~
f
m
·
~
f
n
= g
mn
, имеем уравнение
α
21
g
11
+ g
12
= 0 (4.30)
и систему
α
31
g
11
+ α
32
g
12
= −g
31
,
α
31
g
12
+ α
32
g
22
= −g
32
,
(4.31)
решения которых имеют вид
α
21
= −
g
12
g
11
, α
31
= −
∆
1
∆
, α
32
= −
∆
2
∆
, (4.32)
где
∆ =
g
11
g
12
g
12
g
22
, ∆
1
=
g
31
g
12
g
32
g
22
, ∆
2
=
g
11
g
31
g
12
g
32
. (4.33)
Подставив (4.32) в (4.29), получим явный вид тр¨ехмерного ортогонального базиса:
~e
1
=
~
f
1
,
~e
2
=
~
f
2
−
g
12
g
11
~
f
1
, (4.34)
~e
3
=
~
f
3
−
∆
2
∆
~
f
2
−
∆
1
∆
~
f
1
,
который можно записать в матричной форме:
~e
1
~e
2
~e
3
!
= C
⊺
~
f
1
~
f
2
~
f
3
, (4.35)
где C — матрица перехода от базиса B = (
~
f
1
~
f
2
~
f
3
) к базису B
′
= (~e
1
~e
2
~e
3
):
C =
1 α
21
α
31
0 1 α
32
0 0 1
!
=
1 −
g
12
g
11
−
∆
1
∆
0 1 −
∆
2
∆
0 0 1
. (4.36)
Пример 4.6. Для косоугольной системы координат и векторов ~a и
~
b из примера 4.5
найти преобразование, переводящее ее базис в ортогональный и определить коор-
динаты векторов ~a и
~
b в ортогональном базисе. Вычислить их длины и скалярное
произведение и сравнить с результатами, полученными ранее.

Страницы