ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
62 Глава 1. Векторная алгебра
Решение. Как следует из примера 4.5, матрица Грама косоугольного базиса B =
(
~
f
1
,
~
f
2
,
~
f
3
) имеет вид
G(
~
f
1
,
~
f
2
,
~
f
3
) = kg
mn
k =
4 1 2
1 1 1
2 1 4
!
. (4.37)
Искомое преобразование, переводящее косоугольный базис B = (
~
f
1
,
~
f
2
,
~
f
3
) в ортого-
нальный B
′
= (~e
1
~e
2
~e
3
), определяется матрицей (4.36). Поскольку, согласно (4.33),
∆ =
4 1
1 1
= 3, ∆
1
=
2 1
1 1
= 1, ∆
2
=
4 2
1 1
= 2,
то
α
31
= −
g
21
g
11
= −
1
4
, α
31
= −
∆
1
∆
= −
1
3
, α
32
= −
∆
2
∆
= −
2
3
.
В силу этого для матрицы преобразования (4.36) имеет вид
C =
1 −1/4 −1/3
0 1 −2/3
0 0 1
!
. (4.38)
Таким образом, ортогональный базис, согласно (4.35), определится соотношением
~e
1
~e
2
~e
3
!
= C
⊺
~
f
1
~
f
2
~
f
3
=
1 0 0
−1/4 1 0
−1/3 −2/3 1
!
~
f
1
~
f
2
~
f
3
. (4.39)
Для определения координат векторов ~a и
~
b в ортогональном базисе B
′
= (~e
1
~e
2
~e
3
),
найд¨ем, исходя из (4.38):
C
−1
=
1 1/4 1/2
0 1 2/3
0 0 1
!
, (4.40)
тогда
~a =
a
′
1
a
′
2
a
′
3
!
= C
−1
a
1
a
2
a
3
!
=
1 1/4 1/2
0 1 2/3
0 0 1
!
2
1
1
!
=
11/4
5/3
1
!
(4.41)
и, соответственно,
~
b =
b
′
1
b
′
2
b
′
3
!
= C
−1
b
1
b
2
b
3
!
=
1 1/4 1/2
0 1 2/3
0 0 1
!
1
2
1
!
=
2
8
3
1
. (4.42)
Для работы с векторами ~a и
~
b в ортогональном базисе B
′
= (~e
1
, ~e
2
, ~e
3
) выпишем
его матрицу Грама:
G(~e
1
, ~e
2
, ~e
3
) = kg
mn
k = k~e
m
·~e
n
k.
В силу ортогональности нового базиса все ее недиагональные элементы будут равны
нулю: ~e
m
·~e
n
= 0, m 6= n, а диагональные элементы, согласно (4.39), найдутся как
g
11
= ~e
1
·~e
1
= (1 0 0)G(
~
f
1
,
~
f
2
,
~
f
3
)
1
0
0
!
= (1 0 0)
4 1 2
1 1 1
2 1 4
!
1
0
0
!
= 4;
g
22
= ~e
2
·~e
2
=
−
1
4
1 0
G(
~
f
1
,
~
f
2
,
~
f
3
)
−1/4
1
6
!
=
3
4
;
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 60
- 61
- 62
- 63
- 64
- …
- следующая ›
- последняя »
