ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
60 Глава 1. Векторная алгебра
Теперь, следуя определению (4.14), найд¨ем
~a ·
~
b = (2 1 1)G
1
2
1
!
= (2 1 1)
4 1 2
1 1 1
2 1 4
!
1
2
1
!
= 28;
~a ·~a = (2 1 1)G
2
1
1
!
= 35;
~
b ·
~
b = (1 2 1)G
1
2
1
!
= 24,
откуда
cos[∠(~a,
~
b)] =
~a ·
~
b
|~a||
~
b|
=
28
√
24 · 35
=
28
28,9
≈ 0,96,
т.е. ∠(~a,
~
b) ≈ 15
◦
и, соотв етственно,
пр
~
b
~a =
~a ·
~
b
|
~
b|
=
28
√
24
≈ 5,7.
4.3. Метод ортогонализации Грама–Шмидта
При необходимости от косоугольной системы координат можно перейти к декарто-
вой. Это можно сделать с помощью метода ортогонализации Грама–Шмидта. Смысл
метода заключается в следующем. По базисным векторам
~
f
1
,
~
f
2
,
~
f
3
косоугольного ба-
зиса построим три новых вектора
~e
1
=
~
f
1
,
~e
2
=
~
f
2
+ λ
21
~e
1
, (4.26)
~e
3
=
~
f
3
+ λ
32
~e
2
+ λ
31
~e
1
.
Коэффициенты λ
mn
можно найти, подчинив векторы ~e
m
условиям ортогональности:
~e
m
· ~e
n
= 0, m 6= n. Действительно, умножив 2-ое уравнение скалярно на вектор ~e
1
,
получим
~e
2
·~e
1
=
~
f
2
·~e
1
+ λ
21
~e
1
·~e
1
= 0,
откуда
λ
21
= −
~
f
2
·~e
1
~e
1
·~e
1
. (4.27)
Далее, умножив 3-е уравнение на ~e
1
и ~e
2
соответственно, найд¨ем
λ
31
= −
~
f
3
·~e
1
~e
1
·~e
1
, λ
32
= −
~
f
3
·~e
2
~e
2
·~e
2
. (4.28)
Несложно заметить, что этот метод пригоден для векторных пространств любой
размерности, поскольку процедура (4.26) да¨ет алгоритм для построения ортогональ-
ного базиса. Однако для пространств малых размерностей, в частности для трехмер-
ного пространства, c его помощью можно получить конкретные формулы, задающие
явный вид тр¨ехмерного (двумерного) ортогонального базиса через метрические коэф-
фициенты
~
f
m
·
~
f
n
.
Итак, по базисным векторам
~
f
1
,
~
f
2
,
~
f
3
косоугольного базиса построим вместо (4.26)
три новых вектора
~e
1
=
~
f
1
,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- …
- следующая ›
- последняя »
