Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия. Задорожный В.Н - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

58 Глава 1. Векторная алгебра
Если произвольный базис B = (~e
1
, ~e
2
, ~e
3
) заменить ортонормированным B
0
=
(~ı,~,
~
k), для которого в силу (4.9) мат рица Грама является единичной:
G = kg
mn
k = δ
mn
=
0, m 6= n;
1, m = n,
(4.18)
то привед¨енные выше формулы (4.17) примут вид (4.11), (4.12), (4.13).
Пусть Ox
1
x
2
x
3
— косоугольная система координат, базис B = (~e
1
, ~e
2
, ~e
3
) ко-
торой характеризуется своими метрическими коэффициентами:
G = kg
mn
k =
~e
1
·~e
1
~e
1
·~e
2
~e
1
·~e
3
~e
2
·~e
1
~e
2
·~e
2
~e
2
·~e
3
~e
3
·~e
1
~e
3
·~e
2
~e
3
·~e
3
!
, (4.19)
и пусть ~a — некоторый вектор, заданный в это й системе ко ординат:
~a = a
1
~e
1
+ a
2
~e
2
+ a
3
~e
3
. (4.20)
Координаты a
1
, a
2
, a
3
этого вектора, в отличие от декартов ой системы ко-
ординат, не являются его проекциями на координатные оси. Действительно,
умножив равенство (4.20) скалярно на векторы ~e
1
, ~e
2
, ~e
2
соответственно, полу-
чим систему
a
1
~e
1
·~e
1
+ a
2
~e
1
·~e
2
+ a
3
~e
1
·~e
3
= ~e
1
·~a,
a
1
~e
2
·~e
1
+ a
2
~e
2
·~e
2
+ a
3
~e
2
·~e
3
= ~e
2
·~a, (4.21)
a
1
~e
3
·~e
1
+ a
2
~e
3
·~e
2
+ a
3
~e
3
·~e
3
= ~e
3
·~a.
Поскольку определитель этой системы есть определитель Грама Γ(~e
1
, ~e
2
, ~e
3
) =
det G базисных векторов, то система имеет единственное решение, задающее
значение координат a
1
, a
2
, a
3
:
a
1
=
1
Γ(~e
1
, ~e
2
, ~e
3
)
~e
1
·~a g
12
g
13
~e
2
·~a g
22
g
23
~e
3
·~a g
32
g
33
, a
2
=
1
Γ(~e
1
, ~e
2
, ~e
3
)
g
11
~e
1
·~a g
13
g
21
~e
2
·~a g
23
g
31
~e
3
·~a g
33
,
a
3
=
1
Γ(~e
1
, ~e
2
, ~e
3
)
g
11
g
12
~e
1
·~a
g
21
g
22
~e
2
·~a
g
31
g
32
~e
3
·~a
.
(4.22)
Поскольку скалярные произведения вектора ~a на ба зисные векторы имеют
вид
~a ·~e
1
= (a
1
a
2
a
3
)G
1
0
0
!
= a
1
g
11
+ a
2
g
21
+ a
3
g
31
,
~a ·~e
2
= (a
1
a
2
a
3
)G
0
1
0
!
= a
1
g
12
+ a
2
g
22
+ a
3
g
32
, (4.23)
~a ·~e
3
= (a
1
a
2
a
3
)G
0
0
1
!
= a
1
g
13
+ a
2
g
23
+ a
3
g
33
,
а модули базисных векторов
|~e
1
| =
p
~e
1
·~e
1
= g
1/2
11
, |~e
2
| =
p
~e
2
·~e
2
= g
1/2
22
, |~e
3
| =
p
~e
3
·~e
3
= g
1/2
33
, (4.24)

Страницы