ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
4. Произведение двух векторов 63
g
33
= ~e
2
·~e
2
=
−
1
3
−
2
3
1
G(
~
f
1
,
~
f
2
,
~
f
3
)
−1/4
−2/3
1
!
=
8
3
.
Таким образом,
G(
~
f
1
,
~
f
2
,
~
f
3
) =
4 0 0
0 3/4 0
0 0 8/3
!
. (4.43)
Теперь, зная координаты векторов ~a (4.41) и
~
b (4.42) в ортогональном базисе и его
матрицу Грама (4.43), найд¨ем
~a ·
~
b =
11
4
5
3
1
4 0 0
0 3/4 0
0 0 8/3
!
2
8/3
1
!
= 28;
~a ·~a =
11
4
5
3
1
4 0 0
0 3/4 0
0 0 8/3
!
11/4
5/3
1
!
= 35;
~
b ·
~
b =
2
8
3
1
4 0 0
0 3/4 0
0 0 8/3
!
2
8/3
1
!
= 24,
откуда
cos ϕ =
~a ·
~
b
|~a||
~
b|
=
28
√
24 · 35
≈
28
28,98
≈ 0,96,
т.е. ϕ = ∠(~a,
~
b) ≈ 15
◦
и, соответственно,
пр
~
b
~a =
~a ·
~
b
|
~
b|
=
28
√
24
≈ 5,7.
Как видим, полученные значения полностью совпадают со значениями, вычисленны-
ми в предыдущей задаче.
Заметим, что с помощью дополнительного преобразования нормировки, матрица
которого имеет вид
D =
1/2 0 0
0 2/
√
3 0
0 0
p
3/5
можно от ортогонального базиса B
′
= (~e
1
, ~e
2
, ~e
3
) перейти к ортонормированному ба-
зису B
′′
= (~e
′
1
, ~e
′
2
, ~e
′
3
):
~e
′
1
~e
′
2
~e
′
3
!
= D
⊺
~e
1
~e
2
~e
3
!
.
Пример 4.7. Показать, что скалярное произведение двух векторов независимо (или
инвариантно) от выбора системы координат.
Решение. Выше было показано, что координаты точек и векторов в пространстве,
вообще говоря, различны в разных системах координат. Покажем, что значение ска-
лярного произведения не зависит от выбора системы координат.
Действительно, пусть в базисе B = (~e
1
, ~e
2
, ~e
3
) два вектора имеют координаты
~a = (a
1
, a
2
, a
3
),
~
b = (b
1
, b
2
, b
3
), а в базисе B
′
= (~e
′
1
, ~e
′
2
, ~e
′
3
) = BC, соответственно, коор-
динаты ~a = (a
′
1
, a
′
2
, a
′
3
),
~
b = (b
′
1
, b
′
2
, b
′
3
). Старые и новые координаты векторов связаны
соотношениями (3.13), т.е.
a
′
1
a
′
2
a
′
3
!
= C
−1
a
1
a
2
a
3
!
,
b
′
1
b
′
2
b
′
3
!
= C
−1
b
1
b
2
b
3
!
. (4.44)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- …
- следующая ›
- последняя »
