ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
4. Произведение двух векторов 65
Полученное равенство справедливо только при условии CC
⊺
= I, которое и
является условием ортогональности матрицы C.
Наоборот, если C — орто гональна я матрица и B = (~e
1
, ~e
2
, ~e
3
) — ортонорми-
рованный базис, то для базиса B
′
= (~e
′
1
, ~e
′
2
, ~e
′
3
), полученного по формуле
(~e
′
1
~e
′
2
~e
′
3
) = (~e
1
~e
2
~e
3
)C,
условие его ортогональности
(~e
′
1
~e
′
2
~e
′
3
)
~e
′
1
~e
′
2
~e
′
3
!
= (~e
1
~e
2
~e
3
)CC
⊺
~e
1
~e
2
~e
3
!
= (~e
1
~e
2
~e
3
)
~e
1
~e
2
~e
3
!
обеспечивается ортогональностью матрицы C: CC
⊺
= I.
Следствие 4.2.1. Если равенство
x
y
z
!
= C
x
′
y
′
z
′
!
+
x
0
y
0
z
0
!
(4.48)
задает переход от прямоугольной системы координат Oxyz к прямоугольной си-
стеме координат O
′
x
′
y
′
z
′
, то матрица C ортогональна. Наоборот, если система
координат Oxyz прямоугольна и матрица C орт огональна, то система коорди-
нат O
′
x
′
y
′
z
′
также прямоугольна.
4.5. Векторное произведение двух векторов и его свойства
Сначала дадим определение правой и левой тройки векторов, правой и левой
системы координат.
Пусть в пространстве выбрана ориентация. Здесь будет уместно еще раз и
более подробно рассмотреть это понятие. Напо мним, что любое пространство
(плоскость, прямая) имеют ровно дв а класса одноименных базисов (см. разд.
«Ориентация прямой, плоскости и пространства»). Все базисы одного класса
можно получить из единственного непрерывной его деформацией, тогда как
непрерывный переход базиса из одного класса в другой невозможен! Поэто-
му изначально в пространстве можно выбрать один из этих двух базисов и
объявить его исходным для получения остальных. Такой выбор и на зывается
выбором ориентации пространства. На рис. 37 приведены возможные ориен-
тации прямой, плоскости и пространства. В левой колонке показаны базисы
левой ориентации, а в правой — правой ориентации (для простоты построений
выбраны ортонормированные базисы).
Выбор левой и правой ориентации (базиса) одной и той же прямой поясне-
ний не требует. Очевидно, что один базис из другого по лучается зеркальным
отображением относительно начала координат. Само направление стрелок объ-
ясняет на зва ние ориентаций.
Для ориентации плоскостей к уже о риентированной прямой — оси Ox —
добавляется прямая, пересекающая ее в начале координат. Ор иентация этой
прямой и задает ориентацию плоскости — направление оси Oy. Очевидно, что
левый базис получается из правого зеркальным отображением относительно
одной из координатных осей.
Для ориентации пространства к уже ориентированной плоскости xOy до-
бавляется пря мая, пересекающая эту плоскость в точке O. Ориентация этой
прямой и задает ориентацию пространства — направление оси Oz. Очевидно,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- …
- следующая ›
- последняя »
