Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия. Задорожный В.Н - 64 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

64 Глава 1. Векторная алгебра
Скалярное произведение векторов ~a и
~
b в базисе B имеет вид
~a ·
~
b = (a
1
a
2
a
3
)G
b
1
b
2
b
3
!
= (a
1
a
2
a
3
)B
⊺
B
b
1
b
2
b
3
!
. (4.45)
Поскольку преобразование базиса осуществляется с помощью неособой матри-
цы C, то для не¨е всегда существует обратная матрица C
−1
, такая что CC
−1
= I
и (C
−1
)
⊺
C
⊺
= I, и (4.45) можно записать как
~a ·
~
b = (a
1
a
2
a
3
)(C
−1
)
⊺
C
⊺
B
⊺
BCC
−1
b
1
b
2
b
3
!
.
Отсюда с уч¨етом (4.44) и того, что B
′
= BC, найд¨ем
~a ·
~
b = (a
′
1
a
′
2
a
′
3
)(B
′
)
⊺
B
′
b
′
1
b
′
2
b
′
3
!
= (a
′
1
a
′
2
a
′
3
)G
′
b
′
1
b
′
2
b
′
3
!
.
Это и означает, что скалярное произведение ~a ·
~
b при замене базиса не меняет своего
значения.
Таким образом, скалярное произведение векторов является инвариантным отно-
сительно выбора (а значит, и преобразования) системы координат.
♦ Это утверждение потребуется нам при использовании векторного исчисления в
аналитической геометрии. Например, если треугольник задать тремя векторами, то
при переходе от одной системы координат к другой углы и стороны треугольника не
меняют своих значений.
4.4. Преобразование прямоугольных координат в пространстве
Выше мы рассмотрели преобразование прямоугольных координат на плос-
кости. Рассмотрим аналогичную задачу в пространстве.
Теорема 4.2. Д ля того чтобы равенство
(~e
′
1
~e
′
2
~e
′
3
) = (~e
1
~e
2
~e
3
)C (4.46)
определяло переход от одного ортонормированного базиса B = (~e
1
, ~e
2
, ~e
3
) к дру-
гому B
′
= (~e
′
1
, ~e
′
2
, ~e
′
3
), необходимо и достаточно, чтобы матрица перехода C
была ортогональной.
Доказательство. Пусть B и B
′
— два ортонормированных базиса, тогда их
матрицы Грама являются единичными:
k~e
m
·~e
n
k = k~e
′
m
·~e
′
n
k = g
mn
=
1, m = n;
0, m 6= n.
(4.47)
Из (4.4 7):
(~e
′
1
~e
′
2
~e
′
3
)
~e
′
1
~e
′
2
~e
′
3
!
= (~e
1
~e
2
~e
3
)
~e
1
~e
2
~e
3
!
с уч¨етом (4.46) имеем
(~e
1
~e
2
~e
3
)CC
⊺
~e
1
~e
2
~e
3
!
= (~e
1
~e
2
~e
3
)
~e
1
~e
2
~e
3
!
.

Страницы