Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия. Задорожный В.Н - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

4. Произведение двух векторов 55
Решение. Воспользуемся формулой (4.7), в кото ро й
b =
p
1
2
+ (−2)
2
+ 3
2
=
√
14,
а
~a ·
~
b = a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ a
3
b
3
= 2 · 1 + (−1)(−2) + 1 ·3 = 7;
пр
~
b
~a =
~a ·
~
b
|
~
b|
=
7
√
14
=
r
7
2
.
Следствие 4.1.2. Необходимым и достаточным условием перпендикулярно-
сти векторов ~a = (a
1
, a
2
, a
3
) и
~
b = (b
1
, b
2
, b
3
) является равенство
a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ a
3
b
3
= 0. (4.11)
Доказательство. В самом деле, если ~a ⊥
~
b, то ~a ·
~
b = 0. Согласно доказанной
теореме, имеем
~a ·
~
b = a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ a
3
b
3
= 0.
Следовательно, если ~a ⊥
~
b, то получим (4.11).
Следствие 4.1.3. Угол между векторами ~a = (a
1
, a
1
, a
3
) и
~
b = (b
1
, b
2
, b
3
) опре-
деляется по формуле
cos ϕ =
a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ a
3
b
3
p
a
2
1
+ a
2
2
+ a
2
3
p
b
2
1
+ b
2
2
+ b
2
3
. (4.12)
Доказательство. Действительно, скалярное произведение векторов ~a и
~
b есть
~a ·
~
b = ab cos ϕ,
где ϕ — угол между данными векторами, откуда
cos ϕ =
~a ·
~
b
ab
.
Учитывая (4.9), а также, что
a = |~a| =
q
x
2
1
+ y
2
1
+ z
2
1
,
b = |
~
b| =
q
x
2
2
+ y
2
2
+ z
2
2
,
(4.13)
окончательно имеем формулу (4.12).
Пример 4.3. Даны три точки: A(1, 1 , 1), B(2, 2, 1), C(2, 1, 2). Найти длины век-
торов |
−→
AB|, |
−→
AC| и угол ϕ = ∠BAC.

Страницы