ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
4. Произведение двух векторов 53
4. Произведение двух векторов
Поскольку каждый вектор характеризуется модулем, т.е. скаляром, и на-
правлением, то операция умножения векторов должна, вообще говоря, учиты-
вать эту двойственную их природу. Оказывается, возможны две операции умно-
жения векторов. Одна дает в результате скаляр и поэто му называется скаляр-
ным произведением (умножением). Другая дает в результате вектор и потому
называется векторным произведением.
4.1. Скалярное произведение двух векторов
С калярным произведением двух векторов ~a и
~
b называется число, равное
произведению их модулей (длин), умноженному на косинус угла между ними.
и обозначается
(~a,
~
b) = ~a
~
b = ~a ·
~
b = ab cos ϕ. (4.1)
Здесь ϕ – угол между векторами ~a и
~
b.
Если спроектировать вектор
~
b на вектор ~a, будем иметь
пр
~a
~
b = b cos ϕ. (4.2)
Аналогично, спроектировав вектор ~a на вектор
~
b, получим
пр
~
b
~a = a cos ϕ. (4.3)
Тогда скалярное произведение (4.1) можно записать как
~a ·
~
b = a пр
~a
~
b (4.4)
или
~a ·
~
b = b пр
~
b
~a. (4.5)
Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно произведению
модуля одного из них на проекцию второго вектора на первый.
Из (4.4) имеем
пр
~a
~
b =
~a ·
~
b
a
, (4.6)
а из (4.5)
пр
~
b
~a =
~a ·
~
b
b
. (4.7)
Из определения (4.1) с уч¨етом (4.4), (4.5) вытекают следующие свойства
скалярного произведения:
1) коммутативность
~a ·
~
b =
~
b ·~a;
2) однородность
α~a · β
~
b = αβ~a ·
~
b;
3) линейность
(α~a + β
~
b) ·~c = α~a ·~c + β
~
b ·~c;
4) неравенство Коши–Буняковского
(~a ·
~
b)
2
6 ~a
2
·
~
b
2
= a
2
b
2
;
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 51
- 52
- 53
- 54
- 55
- …
- следующая ›
- последняя »
