ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3. Преобразование аффинных систем координат 45
Таким образом, две ортогональные матрицы частного вида (3.45) соответствуют тож-
дественному преобразованию, осущ ествляемому матрицей C
+
(0), тогда как матрица
C
−
(0) осуществляет преобразование, изменяющее знак второго базисного вектора:
~
′
= −~. Такое преобразование называют еще зеркальным отображением или отоб-
ражением симметрии относительно оси Ox. Именно этим преобразованием разли-
чаются C
+
(ϕ) и C
−
(ϕ), поскольку
C
−
(ϕ) = C
+
(ϕ)C
−
(0), (3.47)
а следовательно, и базисы B
+
и B
−
:
B
+
= BC
+
(ϕ) = B, B
−
= BC
−
(ϕ) = BC
+
(ϕ)C
−
(0) = BC
−
(0). (3.48)
3.6. Ориентация прямой, плоскости и пространства
Базис пространства определяется как упорядоченная тройка линейно независи-
мых векторов. Поэтому изменения базиса будут происходить не только при измене-
нии самих векторов, но и при изменении их направлений и, более того, порядка их
следования, т.е. их нумерации.
Рис. 30.
Остановимся на этом вопросе более подроб-
но, опираясь на введ¨енные уже понятия и опре-
деления. Так, например, введя понятие оси, мы
уже определили ориентацию прямой, выбрав
один из двух (рис. 30) классов одинаково на-
правленных ненулевых векторов и объявив их
направление положительным. Как известно, каждый ненулевой вектор на прямой об-
разует базис и переход от одного базисного вектора к другому осуществляется пут¨ем
его умножения на отличное от нуля число. При этом одинаково направленные векто-
ры связаны только положительными множителями. Такое понятие ориентации можно
распространить на пространства большего числа измерений.
Пусть в пространстве заданы две аффинные системы координат Oxyz и Ox
′
y
′
z
′
с
одним началом, базисы которых B = (~e
1
~e
2
~e
3
) и B
′
= (~e
′
1
~e
′
2
~e
′
3
) связаны матрицей
перехода C: B
′
= BC.
Два базиса B и B
′
называются одноим¨ен ными, если их матрица перехода имеет
положительный определитель, т.е. det C > 0.
Поскольку определитель матрицы C не может быть равен нулю, то он либо поло-
жителен (det C > 0), либо отрицателен (det C < 0). Рассмотрим следующие возмож-
ности преобразования базиса. Пусть det C > 0, тогда базис B
′
+
= BC является одно-
им¨енным с начальным B. Если же det C < 0, то B
′
−
= BC является разноим¨енным с
исходным.
Пусть теперь D — матрица перехода от B
′
к B
′′
, т.е.
B
′′
= B
′
D = B(CD),
тогда в зависимости от знака det(CD) = det C det D базис B
′′
будет одноим¨енным
либо с B
′
+
и, следовательно, с B, либо с базисом B
′
−
. Это означает, что в пространстве
(как и на прямой) существует ровно два класса одноим¨енных базисов.
Выбор одного из двух возможных классов базисов называется ориентацией про -
странства (плоскости, прямой). Все базисы выбранной ориентации называются по-
ложительными.
♦ Выбор ориентации пространства означает задание направления поступательного
движения по прямой, вращения на плоскости и поступательного движения винта при
его вращении в пространстве.
Правая ориентация пространства определяется таким базисом B = (~e
1
~e
2
~e
3
),
в котором вектор ~e
1
совмещается с вектором ~e
2
по кратчайшему пути при вращении
против часовой стрелки, если смотреть на плоскость векторов ~e
1
~e
2
из конца вектора
~e
3
. При вращении по часовой стрелке ориентация пространства называется левой.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- …
- следующая ›
- последняя »
