Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия. Задорожный В.Н - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

42 Глава 1. Векторная алгебра
что и доказывает ортогональность произведения матриц C
1
C
2
.
Остановимся подробнее на матрицах 2-го порядка. Покажем, что ортогональные
матрицы 2-го порядка в зависимости от знака определителя имеют вид
C
+
= C
+
(ϕ) =
cos ϕ −sin ϕ
sin ϕ cos ϕ
, det C
+
= 1 > 0, (3.31)
и
C
−
= C
−
(ϕ) =
cos ϕ sin ϕ
sin ϕ −cos ϕ
, det C
−
= −1 < 0. (3.32)
Действительно, пусть
C =
c
11
c
12
c
21
c
22
(3.33)
— ортогональная матрица 2-го порядка. Тогда для ее элементов должны выполняться
соотношения
c
2
11
+ c
2
21
= 1,
c
2
12
+ c
2
22
= 1, (3.34)
c
11
c
12
+ c
21
c
22
= 0.
Из первого уравнения (3.34) следует, что существует такой угол ϕ, для которого
c
11
= cos ϕ, c
21
= sin ϕ. (3.35)
Подставив (3.35) в третье уравнение (3.34), получим
c
12
cos ϕ + c
22
sin ϕ = 0,
откуда имеем возможность записать, что
c
12
= −A sin ϕ, c
22
= A cos ϕ. (3.36)
Теперь подставим (3.36) во второе уравнение (3.34):
A
2
sin
2
ϕ + A
2
cos ϕ = A
2
= 1,
и, стало быть, A = ±1.
Таким образом, для ортогональных матриц 2-го порядка имеем
C
A
=
cos ϕ −A sin ϕ
sin ϕ A cos ϕ
, A = ±1. (3.37)
При A = +1 из (3.37) получаем матрицу C
+
, det C
+
= 1 > 0; при A = −1 из (3.37)
получаем матрицу C
−
, det C
−
= −1 < 0.
3.5. Преобразование прямоугольных координат на плоскости
Пусть (O, B = (~ı ~)) — ортонормированный репер, задающий на плоскости систему
координат Oxy (рис. 29). Рассмотрим новый репер (O, B
′
= (~ı
′
~
′
)), базис которого
получается преобразованием старого базиса с помощью ортогональной матрицы 2-го
порядка C
A
B
′
= (~ı
′
~
′
) = BC
A
= (~ı ~)C
A
. (3.38)
I. Выбор в (3.38) C
A
= C
+
(ϕ) да¨ет
(~ı
′
~
′
) = (~ı ~)C
+
(ϕ) = (~ı ~)
cos ϕ −sin ϕ
sin ϕ cos ϕ
= (~ı cos ϕ + ~ sin ϕ −~ı sin ϕ + ~ cos ϕ).

Страницы