Приближенные методы решения вариационных неравенств теории мягких сетчатых оболочек. Задворнов О.А. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

S
0
= {u ∈ M : F (u) 6 F (u
(0)
)}.
{u
(k)
}
+∞
k=0
V
F
d
0
< +∞ A
d
1
< +∞ 0 < µ
0
< +∞
τ
{u
(k)
}
+∞
k=0
⊂ S
0
, ku
(k)
k
V
≤ d
0
, k = 0, 1, 2, . . .
u
(0)
∈ S
0
u
(N)
∈ S
0
u
(N+1)
∈ S
0
v = u
(k)
τ ≤ 1
Ψ(ku
(k+1)
− u
(k)
k
V
)ku
(k+1)
− u
(k)
k
V
= hJ(u
(k+1)
− u
(k)
), u
(k+1)
− u
(k)
i ≤
≤ τhf − Au
(k)
, u
(k+1)
− u
(k)
≤ikAu
(k)
− fk
V
∗
ku
(k+1)
− u
(k)
k
V
,
Ψ
ku
(k+1)
− u
(k)
k
V
≤ Ψ
−1
³
kAu
(k)
− fk
V
∗
´
.
t ∈ [0, 1]
|hA(u
(k)
+ t(u
(k+1)
− u
(k)
)) − Au
(k)
, u
(k+1)
− u
(k)
i| ≤
≤ µ(d
∗
)Ψ(kt(u
(k+1)
− u
(k)
)k
V
)ku
(k+1)
− u
(k)
k
V
≤
≤ µ(d
∗
)Ψ(ku
(k+1)
− u
(k)
k
V
)ku
(k+1)
− u
(k)
k
V
,
d
∗
= max{ku
(k)
+ t(u
(k+1)
− u
(k)
)k
V
, ku
(k)
k
V
}.
                          S 0 = {u ∈ M : F (u) 6 F (u(0) )}.                   (1.13)

Òîãäà èòåðàöèîííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {u(k) }+∞
                                             k=0 , ïîñòðîåííàÿ ñî-
ãëàñíî (1.10), îãðàíè÷åíà â V , è âñå åå ñëàáî ïðåäåëüíûå òî÷êè ÿâëÿ-
þòñÿ ðåøåíèÿìè çàäà÷è (1.2).

    Äîêàçàòåëüñòâî. Îòìåòèì, ÷òî èç êîýðöèòèâíîñòè ôóíêöèîíàëà F
âûòåêàåò, ÷òî d0 < +∞, à èç îãðàíè÷åííîñòè îïåðàòîðà A ñëåäóåò, ÷òî
d1 < +∞. Òàêèì îáðàçîì, 0 < µ0 < +∞, òî åñòü èòåðàöèîííûé ïàðàìåòð
τ â (1.12) îïðåäåëåí êîððåêòíî.
    Äîêàæåì ñíà÷àëà îãðàíè÷åííîñòü èòåðàöèîííîé ïîñëåäîâàòåëüíî-
ñòè, à èìåííî, ïðîâåðèì, ÷òî âûïîëíåíî óñëîâèå:

        {u(k) }+∞     0            (k)
               k=0 ⊂ S , òî åñòü ku kV ≤ d0 ,          k = 0, 1, 2, . . .      (1.14)

    Ïî îïðåäåëåíèþ u(0) ∈ S 0 . Ïóñòü u(N ) ∈ S 0 , äîêàæåì, ÷òî òîãäà è
u(N +1) ∈ S 0 .
    Ïîäñòàâëÿÿ â (1.10) v = u(k) , ïîëüçóÿñü (1.11) è òåì, ÷òî τ ≤ 1, èìååì

 Ψ(ku(k+1) − u(k) kV )ku(k+1) − u(k) kV = hJ(u(k+1) − u(k) ), u(k+1) − u(k) i ≤

        ≤ τ hf − Au(k) , u(k+1) − u(k) ≤ikAu(k) − f kV ∗ ku(k+1) − u(k) kV ,

îòêóäà âñëåäñòâèå ñòðîãîãî âîçðàñòàíèÿ Ψ ïîëó÷àåì
                                                ³            ´
                        (k+1)     (k)      −1       (k)
                     ku         − u kV ≤ Ψ       kAu − f kV ∗ .                (1.15)

Äàëåå, ñîãëàñíî (1.3) äëÿ t ∈ [0, 1] èìååì

              |hA(u(k) + t(u(k+1) − u(k) )) − Au(k) , u(k+1) − u(k) i| ≤

                  ≤ µ(d∗ )Ψ(kt(u(k+1) − u(k) )kV )ku(k+1) − u(k) kV ≤

                    ≤ µ(d∗ )Ψ(ku(k+1) − u(k) kV )ku(k+1) − u(k) kV ,           (1.16)

ãäå d∗ = max{ku(k) + t(u(k+1) − u(k) )kV , ku(k) kV }.

                                          10

Страницы