Приближенные методы решения вариационных неравенств теории мягких сетчатых оболочек. Задворнов О.А. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

≤ µ
0
Ψ(ku
(k+1)
− u
(k)
k
V
)ku
(k+1)
− u
(k)
k
V
−
−
1
τ
Ψ(ku
(k+1)
− u
(k)
k
V
) ku
(k+1)
− u
(k)
k
V
=
= −λΨ(ku
(k+1)
− u
(k)
k
V
)ku
(k+1)
− u
(k)
k
V
,
λ = 1/τ − µ
0
> 0
F (u
(k+1)
) + λ Ψ(ku
(k+1)
− u
(k)
k
V
)ku
(k+1)
− u
(k)
k
V
≤ F (u
(k)
).
k = 0, 1, . . . , N
F (u
(k+1)
) + λ
N
X
k=0
Ψ(ku
(k+1)
− u
(k)
k
V
) ku
(k+1)
− u
(k)
k
V
≤ F (u
(0)
),
F (u
(N+1)
) ≤ F (u
(0)
) u
(N+1)
∈ S
0
V
{u
(k
m
)
}
+∞
m=1
u V m → +∞
M u ∈ M u
F
F (u) ≥ −µ(kuk
V
) Ψ (kuk
V
) kuk
V
− kA(0)k
V
∗
kuk
V
− kfk
V
∗
kuk
V
.
{F (u
(k)
)}
+∞
k=0
{F (u
(k)
)}
+∞
k=0
lim
k→+∞
λΨ(ku
(k+1)
− u
(k)
k
V
)ku
(k+1)
− u
(k)
k
V
= 0.
                    ≤ µ0 Ψ(ku(k+1) − u(k) kV )ku(k+1) − u(k) kV −
                      1
                    − Ψ(ku(k+1) − u(k) kV ) ku(k+1) − u(k) kV =
                      τ

                     = −λΨ(ku(k+1) − u(k) kV )ku(k+1) − u(k) kV ,                  (1.18)

ïðè÷åì â ñèëó (1.12) λ = 1/τ − µ0 > 0. Òàêèì îáðàçîì, èìååì

      F (u(k+1) ) + λ Ψ(ku(k+1) − u(k) kV )ku(k+1) − u(k) kV ≤ F (u(k) ).          (1.19)

Ñóììèðóÿ ýòè íåðàâåíñòâà ïî k = 0, 1, . . . , N , ïîëó÷èì, ÷òî
                          N
                          X
           (k+1)
       F (u        )+λ          Ψ(ku(k+1) − u(k) kV ) ku(k+1) − u(k) kV ≤ F (u(0) ),
                          k=0

ñëåäîâàòåëüíî F (u(N +1) ) ≤ F (u(0) ), òî åñòü u(N +1) ∈ S 0 . Óòâåðæäåíèå
(1.14) äîêàçàíî.
      Èç îãðàíè÷åííîñòè èòåðàöèîííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè è ðåôëåêñèâ-
íîñòè ïðîñòðàíñòâà V ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè
{u(km ) }+∞
         m=1 , ñõîäÿùåéñÿ ñëàáî ê u â V ïðè m → +∞, à â ñèëó ñëàáîé

çàìêíóòîñòè ìíîæåñòâà M ïîëó÷àåì, ÷òî u ∈ M . Ïîêàæåì, ÷òî u ÿâëÿ-
åòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è (1.2).
      Èç îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèîíàëà F â âèäå (1.8) è óñëîâèÿ (1.3) ñëåäóåò,
÷òî

      F (u) ≥ −µ(kukV ) Ψ (kukV ) kukV − kA(0)kV ∗ kukV − kf kV ∗ kukV .

      Èç ýòîãî íåðàâåíñòâà è îãðàíè÷åííîñòè èòåðàöèîííîé ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòè âûòåêàåò îãðàíè÷åííîñòü ñíèçó ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {F (u(k) )}+∞
                                                                  k=0
Çíà÷èò, íåâîçðàñòàþùàÿ ÷èñëîâàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {F (u(k) )}+∞
                                                              k=0 èìå-
åò êîíå÷íûé ïðåäåë. Ïîýòîìó èç (1.19) èìååì

                   lim λΨ(ku(k+1) − u(k) kV )ku(k+1) − u(k) kV = 0.
                   k→+∞

                                              12

Страницы